Hurwitz ve lipschitz yıldız kümelerinin gauss gürültü kanalındaki kod kazançları ve karşılaştırmaları
Coding gains of hurwitz and lipschitz signal constellations over the gauss noise channel and comparisons of them
- Tez No: 904925
- Danışmanlar: PROF. DR. MURAT GÜZELTEPE
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Kanal kodlama, Channel coding
- Yıl: 2024
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Sakarya Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Gauss, Lipschitz veya Hurwitz sinyal yıldızkümeleri ilgili bir modülo fonksiyonu ile elde edilmektedir. Tez çalışmasında, Hurwitz sinyal yıldızkümelerini elde etmek için sunulan $$μ_β:Z_N(β) → H_β$$ modülo fonksiyonu şu şekilde tanımlanmıştır: β asal (veya tek) Hurwitz tamsayısı ve z∈Z_N(β) olsun. μ_β^((1) ):Z_N(β)→H_β modülo fonksiyonu (μ_β^((1))(z)=z (mod β)=z-β[|(β ̅z)/N(β)|]) ve μ_β^((2)):Z_N(β)→H_β modülo foksiyonu (μ_β^((2))(z)=z(mod β)=z-β[‖(β ̅z)/N(β)‖] ) olmak üzere μ_β:Z_N(β)→H_β modülo fonksiyonu, β∈H(Z) ise (μ_β(z)={(μ_β^((1))(z), N(μ_β^((1))(z))≤N(μ_β^((2))(z)) ise μ_β^((2))(z), N(μ_β^((2))(z))<N(μ_β^((1))(z)) ise)) ve β∈H(Z+1⁄2) ise (μ_β(z)={(μ_β^((1))(z), N(μ_β^((1))(z))<N(μ_β^((2))(z)) ise μ_β^((2))(z), N(μ_β^((2))(z))<N(μ_β^((1))(z)) ise μ_β^((1))(z), Normların eşitliği halinde z tek ise μ_β^((2))(z),Normların eşitliği halinde z çift ise) olarak tanımlanır. Tez çalışmasında, bileşenleri sıfırdan farklı olmak üzere primitif olma özelliğine sahip olan asal, tek ve çift Hurwitz tamsayıları ele alınmıştır. Fakat her bir bileşeni tek tamsayı olan β primitif Hurwitz tamsayılarının, μ_β modülo fonksiyonu ile Hurwitz sinyal yıldızkümelerini elde etmek için uygun olmadıkları gösterilmiştir. Benzer şekilde, her bir bileşeni tek tamsayı olan α primitif Lipschitz tamsayılarının, μ_α modülo fonksiyonu ile Lipschitz sinyal yıldızkümelerini elde etmek için uygun olmadıkları da gösterilmiştir. Bu problemleri çözmek için α primitif Lipschitz ve β primitif Hurwitz tamsayıları yerine sırasıyla kodlayıcı Lipschitz ve kodlayıcı Hurwitz tamsayıları tanımlanmıştır. Ayrıca, literatürdeki diğer modülo fonksiyonları için de α primitif Lipschitz ve β primitif Hurwitz tamsayılarının uygun olup olmadıklarını araştırmak için bazı önermeler sunulmuştur. Bununla birlikte, μ_β modülo fonksiyonu ile elde edilen Hurwitz sinyal yıldızkümelerinin, Gauss gürültü kanalındaki performansları ve kod kazançları literatürdeki diğer sinyal yıldızkümeleri ile karşılaştırılmıştır. Sonuç olarak, Gauss gürültü kanalında literatürdeki diğer sinyal yıldızkümelerinden daha iyi performansa ve kod kazancına sahip olacak şekilde Hurwitz sinyal yıldızkümeleri elde edilmiştir. Bu tez çalışması, altı bölümden oluşmuştur. Bölüm 1'de, bu tez çalışmasında önbilgiler niteliği taşıyan temel tanımlar, teoremler ve önermeler üç alt başlık altında verilmiştir. Bölüm 2'de, kodlama teorisinin ve bilgi teorisinin kısa bir tarihçesi ve kodlama teorisinde yapılan bazı önemli çalışmalara ve bu tez çalışmasının konusu ile ilgili yapılan bazı önemli çalışmalara yer verilmiştir. Bölüm 3'te, yuvarlama notasyonlarının çalışma prensipleri verilmiştir. Bununla birlikte, Hurwitz sinyal yıldızkümelerinin elde edilmesinde kullanılan μ_β modülo fonksiyonu sunulmuştur. μ_β modülo fonksiyonunun, asal veya tek Hurwitz tamsayıları üzerinden bir halka izomorfizması olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, μ_β modülo fonksiyonu ile ilgili bazı sonuçlar verilmiştir. Bölüm 4'te, literatürde verilen primitif Lipschitz tamsayılarının ve primitif Hurwitz tamsayılarının sırasıyla μ_α ve μ_β modülo fonksiyonları ile Lipschitz ve Hurwitz sinyal yıldızkümelerinin elde edilmesi için uygun olmadıkları gösterilmiştir. İlk önce, her bir bileşeni tek tamsayı olan α primitif Lipschitz tamsayıları üzerinden μ_α modülo fonksiyonu ile elde edilen Lipschitz sinyal yıldızkümelerindeki herhangi bir z∈Z_N(α) için Öklid bölmesindeki 0≤N(μ_α(z))<N(α) koşulu ile oluşturduğu çelişki gösterilmiştir. Yani, primitif Lipschitz tamsayılarının Öklid bölmesine uygun olmadıkları veya diğer bir ifadeyle, küçük kalanlı bölme özelliğine sahip olmadığı gösterilmiştir. Bu çelişkiyi ortadan kaldırmak için 0≤N(μ_α(z))<N(α) koşulunu sağlayacak şekildeki primitive Lipschitz tamsayılarından olan kodlayıcı Lipschitz tamsayıları tanımlanmıştır. Son olarak, her bir bileşeni tek tamsayı olan β primitif Hurwitz tamsayıları üzerinden μ_β modülo fonksiyonunun bire-bir olma koşuluyla oluşturuduğu çelişki gösterilmiştir. Bu çelişkiyi ortadan kaldırmak için bire-bir olma koşulunu sağlacak şekildeki kodlayıcı Hurwitz tamsayıları tanımlanmıştır. Bununla birlikte, kodlayıcı Lipschitz tamsayıları ve kodlayıcı Hurwitz tamsayıları üzerinden sırasıyla μ_α ve μ_β modülo fonksiyonlarının birer halka izomorfizması olduğu gösterilmiştir. Bölüm 5'te, sinyal yıldızkümeleri, iletişim sistemi, kod kazançları, küme bölüntüsü ve sinyal başına ortalama enerjileri, bit başına ortalama enerjileri, iletim hızları gibi performans ölçüleri hakkında bilgi verilmiştir. Bununla birlikte, Hurwitz tamsayıları üzerinden μ_β modülo fonksiyonu ile elde edilen Hurwitz sinyal yıldızkümelerinin, toplanabilir beyaz Gauss gürültü kanalındaki performansları ve kod kazançları, Lipschitz sinyal yıldızkümeleri ve Gauss sinyal yıldızkümeleri ile karşılaştırılmıştır. Ayrıca, genişletilmiş Hurwitz tamsayıları üzerinden μ_β modülo fonksiyonu ile elde edilen Hurwitz sinyal yıldızkümelerinin toplanabilir beyaz Gauss gürültü kanalındaki performansları ve kod kazançları, Hurwitz sinyal yıldızkümeleri, Lipschitz sinyal yıldızkümeleri ve Gauss sinyal yıldızkümeleri ile karşılaştırılmıştır. Tablolar üzerinden yapılan karşılaştırmalar sonucunda minimum Öklid uzaklığı 1 (bir) olacak şekildeki Hurwitz sinyal yıldızkümelerinin; toplanabilir Gauss gürültü kanalındaki sinyal başına ortalam enerjileri, bit başına ortalama enerjileri, iletim hızları ve kod kazançları bakımından Lipschitz sinyal yıldızkümelerinden ve Gauss sinyal yıldızkümelerinden daha iyi performansa sahip oldukları gösterilmiştir. Bununla birlikte, küme bölüntüsü kullanılarak elde edilen ve minimum Öklid mesafesi birden (≥1) büyük olacak şekildeki bazı Hurwitz sinyal yıldızkümelerinin, toplanabilir beyaz Gauss gürültü kanalında iletim hızları bakımından küme bölüntüsü kullanılarak elde edilen ve Lipschitz sinyal yıldızkümelerinden daha iyi bir performansa sahip oldukları gösterilmiştir. Bölüm 6'da, bu tez çalışmasında elde edilen sonuçlar sunulmuş ve bazı öneriler verilmiştir.
Özet (Çeviri)
Gaussian, Lipschitz or Hurwitz signal constellations are obtained by a related modulo function. In this thesis study, the modulo function μ_β:Z_N(β)→H_β presented to obtain Hurwitz signal constellations is defined as follows: The modulo function μ_β:Z_N(β)→H_β; if β∈H(Z), (μ_β(z)={(μ_β^((1))(z), if N(μ_β^((1))(z))≤N(μ_β^((2))(z)) μ_β^((2))(z), if N(μ_β^((2))(z))<N(μ_β^((1))(z)))) and if β∈H(Z+1⁄2) (μ_β (z)={(μ_β^((1))(z), if N(μ_β^((1))(z))<N(μ_β^((2))(z)) μ_β^((2))(z), if N(μ_β^((2))(z))<N(μ_β^((1))(z)) μ_β^((1))(z), Otherwise,z is an odd integer μ_β^((2))(z), or z is an even integer)) such that the modulo function μ_β^((1)):Z_N(β)→H_β (μ_β^((1))(z)=z (mod β)=z-β[|(β ̅z)/N(β)|]) and the modulo function μ_β^((2)):Z_N(β)→H_β (μ_β^((2) ) (z)=z (mod β)=z-β[‖(β ̅z)/N(β)‖],) where β be a prime (or odd) Hurwitz integer and z∈Z_N(β). In this thesis study, prime Hurwitz integers, odd Hurwitz integers, and even Hurwitz integers, which are the property of being primitive and each of whose components is different from zero, are considered. However, primitive Hurwitz integers β, each of whose components is an odd integer, are not suitable for obtaining Hurwitz signal constellations by the modulo function μ_β. Similarly, primitive Lipschitz integers α, each of whose components is an odd integer, are not suitable for obtaining Lipschitz signal constellations by the modulo function μ_α, too. To solve these problems, instead of primitive Lipschitz integers α and primitive Hurwitz integers β, encoding Lipschitz integers and encoding Hurwitz integers are defined, respectively. In addition, some propositions are presented to investigate whether the primitive Lipschitz integers α and primitive Hurwitz integers β are suitable for other modulo functions in the literature, or not. Furthermore, the performances and coding gains of the Hurwitz signal constellations obtained by the modulo function μ_β over the Gaussian noise channel were compared with other signal constellations in the literature. Consequently, Hurwitz signal constellations were obtained in a way that they have better performance and coding gain than other signal constellations in the literature over the Gaussian noise channel. This thesis study consists of six chapters. In Chapter 1, the basic definitions, theorems and propositions that are preliminary information in this thesis study are given under three subsections. In Chapter 2, a brief history of coding theory and information theory and some important studies in coding theory are given. Moreover, some important studies related to the subject of this thesis study are given. In Chapter 3, the working principles of rounding notations are given. In addition, the modulo function μ_β used in obtaining Hurwitz signal constellations is presented. It is shown that the modulo function μ_β is a ring isomorphism over prime or odd Hurwitz integers. Also, some results related to the modulo function μ_β are given. In Section 4, it is shown that primitive Lipschitz integers and primitive Hurwitz integers are not suitable for Lipschitz and Hurwitz signal constellations obtained by the modulo function μ_α and the modulo function μ_β, respectively. Firstly, the contradiction caused by the condition 0≤N(μ_α(z))<N(α) in the Euclidean division for any z∈Z_N(α) in the Lipschitz signal constellations obtained by the modulo function μ_α over primitive Lipschitz integers α, each component is an odd integer, is shown. In other words, it is shown that primitive Lipschitz integers are not suitable for Euclidean division or, in other words, they do not have the division with small remainder property. In order to eliminate this contradiction, the encoder Lipschitz integers that satisfy the condition 0≤N(μ_α(z))<N(α) in the Euclidean division are defined. Finally, the contradiction that the modulo function μ_β over primitive Hurwitz integers β, which each component is an odd integer, is formed by the condition of one-to-one function is shown. In order to eliminate this contradiction, the encoder Hurwitz integers that satisfy the condition of one-to-one function are defined. In addition, it is shown that by the modulo function μ_α and the modulo function μ_β over encoder Lipschitz integers and encoder Hurwitz integers are ring isomorphisms, respectively. In Section 5, information is given about signal constellations, communication system, coding gains, set partition and performance measures such as average energy per signal, average energy per bit, transmission rate. Moreover, Hurwitz signal constellations obtained by the modulo function μ_β over Hurwitz integers β are compared with Lipschitz signal constellations and Gaussian signal constellations in terms of performances and coding gains over the additive white Gaussian noise channel. In addition, Hurwitz signal constellations obtained with the modulo function μ_β over extended Hurwitz integers are compared with Hurwitz signal constellations, Lipschitz signal constellations and Gaussian signal constellations in terms of performances and coding gains over the additive white Gaussian noise channel. As a result of the comparisons made on the tables, it has been shown that Hurwitz signal constellations, which the minimum Euclidean distance is equal to one, have better performance than Lipschitz signal constellations and Gaussian signal constellations over the additive Gaussian noise channel in terms of average energy per signal, average energy per bit, transmission rates, and coding gains. Moreover, it has been shown that some Hurwitz signal constellations obtained by using set partitioning, which the minimum Euclidean distance is the greater than one, have better performance than Lipschitz signal constellations obtained by using set partitioning, which the minimum Euclidean distance is the greater than one, in terms of transmission rates over the additive white Gaussian noise channel. In Chapter 6, the results obtained in this thesis study are summarized and some recommendations are given.
Benzer Tezler
- Hurwitz Zeta ve Lerch Zeta fonksiyonlarının asimptotik açılımı ve Taylor katsayıları
Asymptotic expansion and taylor coefficients of Hurwitz Zeta and Lerch Zeta functions
LEVENT KARGIN
- Hurwitz-Lerch Zeta fonksiyonları ailesi ve bazı önemli özellikleri
A family of Hurwitz-Lerch Zeta functions and some impoertant properties
OĞUZ YAĞCI
- Polinomlar politopunun Hurwitz ve sektör kararlılığı
The Hurwitz and sector stability of the polytope of polynomials
TANER BÜYÜKKÖROĞLU
- Matris eşitsizlikleri ve Hurwitz kümesine yaklaşımlar
The matrix inequalities and approximations to the Hurwitz set
NİLGÜN DEMİRTAŞ
Yüksek Lisans
Türkçe
2010
MatematikAnadolu ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. TANER BÜYÜKKÖROĞLU