Genelleştirilmiş metrik uzaylarda tek değerli ve çoğul değerli dönüşümler için bazı sabit nokta ve ortak sabit nokta teoremleri
Some fixed point and common fixed point theorems for single and multivalued mappings in generalized metric spaces
- Tez No: 938898
- Danışmanlar: PROF. DR. MAHPEYKER ÖZTÜRK
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Sakarya Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Topoloji Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 151
Özet
Sabit nokta teorisi, doğrusal olmayan fonksiyonel analiz, doğrusal olmayan operatör teorisi, topoloji, matematiksel modelleme ve uygulamaların dikkate değer bir karışımı ile karakterize edilen yirmi birinci yüzyılın büyüleyici ve sürekli gelişen bir alanıdır. Bu teori, doğrusal olmayan analizdeki en önemli araştırma alanlarından biridir. Çünkü birçok gerçek dünya probleminde sabit nokta teorisi, uygulamalarda doğal olarak ortaya çıkan problemlerin çözümlerinin varlığını tespit etmek için kullanılan temel matematiksel araçtır. Sonuç olarak, sabit nokta teorisi saf ve uygulamalı matematikte önemli bir çalışma alanıdır ve gelişmekte olan bir araştırma sahasıdır. Sabit nokta teorisinin kapsamı, sadece sonsuz boyutlu fonksiyon uzaylarının geometrik teorisini ve operatör-teorik gerçek dünya problemlerini kapsamakla kalmaz, aynı zamanda mühendislikten uzay bilimine, hidromekanikten astrofiziğe, kimyadan biyolojiye, teorik mekanikten biyomekaniğe ve ekonomiden stokastik oyun teorisine kadar disiplinler arası alanların geniş bir yelpazesini içerir. Bu köklü kavramlar ve teknikler, çeşitli uygulamalı alanlarda karşılaşılan fenomenler için daha gerçekçi ve doğru modeller geliştirmek amacıyla araçlar sağlar. Sabit nokta teorisi, Tx=x türündeki doğrusal olmayan denklemlere çözüm bulma yöntemlerine ışık tutmaktadır; burada T, bir metrik uzayın, normlu bir doğrusal uzayın, topolojik bir vektör uzayının veya uygun bir uzayın bir alt kümesi üzerinde tanımlanan bir öz eşlemdir. Bu bağlamda, sabit nokta teorisi, matematiksel analiz ve uygulamalı matematikte geniş bir uygulama yelpazesine sahiptir ve bu da onu modern matematiğin vazgeçilmez bir parçası haline getirmektedir. Metrik sabit nokta teorisi, matematiksel analiz ve topolojinin önemli bir dalı olup, metrik uzaylarda tanımlanan dönüşümlerin sabit noktalarının varlığını ve özelliklerini incelemektedir. Bu teori, Banach'ın sabit nokta teoremi ile başlamış ve zamanla genişleyerek birçok farklı alanda uygulanabilir hale gelmiştir. Uzaklık fonksiyonunun değiştirilmesi, var olan fonksiyondan bazı özelliklerin çıkarılması ya da yeni özelliklerin eklenmesi ile literatüre birçok yeni topolojik yapı girmiştir. Banach'ın sabit nokta teoremi ile başlayan bu teori, zamanla genişleyerek birçok farklı alanda uygulanabilir hale gelmiştir ve modern matematiğin vazgeçilmez bir parçası olmuştur. Toplanabilirlik teorisi, dizi uzayları, bulanık teori, Banach uzaylarının geometrisi gibi matematiği ilgilendiren uygulamaların yanı sıra mühendislikten uzay bilimine hidromekanikten astrofiziğe, kimyadan biyolojiye, teorik mekanikten biyomekaniğe ve ekonomiden stokastik oyun teorisine kadar disiplinler arası alanlarda geniş bir yelpazede uygulama sahasına sahip olduğundan metrik sabit nokta teori bu yeni metrik yapıları ile oldukça zengin bir hale gelmiştir. Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır. Bir ve ikinci bölümler literatür taraması şeklinde iken üç, dört ve beşinci bölümler tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Altıncı bölümde ise sonuçlar ve öneriler kısmına yer verilmiştir. Birinci bölümünde metrik sabit nokta teorisi ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmektedir. Ayrıca metrik uzayları genelleyen çeşitli uzayların tanımları yapılmış ve özellikleri incelenmiştir. Bir çok araştırmacının ortaya koyduğu Banach daralma prensibinin ya da bir diğer ifade ile Banach sabit nokta teoreminin genellemeleri olarak ya metriğin üzerindeki şartların değiştirilerek yeni uzayların oluşturulması, ya da dönüşümler üzerindeki daralma şartlarının değiştirilerek literatüre kazandırılması amaçlanmıştır. İkinci bölümde ise çalışmanın devamında kullanılan bazı genel metrik yapılarına ve bu yapıların özelliklerine yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, asimetrik modüler b-metrik uzay ile Archimedean olmayan asimetrik modüler b-metrik uzay yapıları tanımlanıp bu uzayların topolojik yapıları hakkında bazı bilgiler sunulmuştur. Archimedean olmayan asimetrik modüler b-metrik uzayında simülasyon ve kıyaslama fonsiyonları yardımıyla yeni bir daralma dönüşümü oluşturarak sabit nokta teoremleri ispatlanmıştır. Ayrıca elde edilen sabit nokta teoremleri Ulam-Hyers kararlılık problemi uygulanmıştır. Bunun yanı sıra, bu sonuçlar kullanılarak bir Caputo tipi doğrusal olmayan kesirli diferansiyel denklemin tek çözümüne ulaşılmıştır. Dördüncü bölümde, modular b-metrik-benzeri uzay kavramı modular metrik-benzeri uzay ve modular b-metrik uzay kavramları yardımıyla tanımlanmıştır. Oluşturulan yeni uzayın bazı topolojik özellikleri incelenmiştir. Ayrıca, R ikili bağıntısını dahil ederek, R-modular b-metrik benzeri uzayların çerçevesi genişletilmiştir. Z-simülasyon fonksiyonunu ve E-tipi daralma yapıları dahil ederek, Geraghty büzülme tipi dönüşümlerini içeren sabit nokta sonuçları elde edilmiştir. Bununla birlikte, R ikili bağıntısı yoluyla türetilen, grafiksel modular b-metrik-benzeri uzay tanımı lüteratüre kazandırılmıştır. Bu yapı üzerinde dinamik programlamada çok önemli olan bir fonksiyonel denklemler sınıfı için çözümlerin varlığı ve RLC paralel devresinde elektrik akımına ilişkin başlangıç değer problemlerinin çözümü araştırılmıştır. Beşinci bölümde ise Archimedean olmayan modüler metrik uzayda, çok değerli rasyonel θ-tipli daralma dönüşümünün sabit noktasının varlığı ve tekliği ispatlanmıştır. Ayrıca Archimedean olmayan modüler metrik uzayın boş olmayan alt kümesinin sonlu ε-sıralanabilir olması durumunda yani alt küme üzerindeki herhangi iki uygun bağlantılı eleman arasında ε-sınırı altında N-uzunluğunda bir sıralının oluşturulmasıyla, çok değerli rasyonel θ-tipli daralma dönüşümünün sabit noktasının varlığı gösterilmiştir. Bu sonuçlar, matematiksel uygulamalardan biri olarak, grafla donatılmış Archimedean olmayan modüler metrik uzaya genelleştirerek desteklenmiştir. Son bölümde ise çalışmada elde edilen sonuçlara ve literatüre kazandırılan yapıların uygulanabilirliği ile ilgili öneriler kısmına yer verilmiştir.
Özet (Çeviri)
Fixed point theory represents a compelling and continually advancing domain within the mathematical sciences of the twenty-first century. It is characterized by a distinctive integration of nonlinear functional analysis, nonlinear operator theory, topology, and mathematical modeling, along with various applications. Recognized as a pivotal area of research in nonlinear analysis, fixed point theory serves as a foundational mathematical framework for establishing the existence of solutions to a diverse array of real-world problems. This underscores its significance as both a theoretical and applied discipline within mathematics, with its relevance as a burgeoning area of research. The breadth of fixed point theory extends beyond the geometric considerations of infinite-dimensional function spaces and operator-theoretic challenges; it encompasses a wide spectrum of interdisciplinary applications. These span various fields, including engineering, space science, hydromechanics, astrophysics, chemistry, biology, theoretical mechanics, biomechanics, economics, and stochastic game theory. The well-established concepts and methodologies intrinsic to fixed point theory furnish essential tools for the formulation of more realistic and precise models addressing phenomena encountered across a multitude of applied fields. Fixed point theory provides significant insights into methodologies for locating solutions to nonlinear equations of the form Tx=x, where T is a self-mapping defined on a subset of a metric space, a normed linear space, a topological vector space, or an appropriate mathematical structure. In this framework, fixed point theory encompasses a variety of applications within mathematical analysis and applied mathematics, thus rendering it an essential component of contemporary mathematical discourse. Metric fixed point theory constitutes a significant domain within mathematical analysis and topology, focusing on the exploration of fixed points of mappings defined on metric spaces. This theory originated with Banach's fixed point theorem, serving as a foundational result that has been progressively expanded to encompass a myriad of disciplines. Banach's fixed point theorem is one of the cornerstones of metric fixed point theory. This theorem guarantees the existence of fixed points of contraction maps defined on a metric space. As a formulation, (X,f) is a complete metric space and T:X→X is a contraction mapping; that is, there exists a constant 0≤k
Benzer Tezler
- Çoğul değerli fonksiyonlar ve sabit nokta teoremleri
Multi-valued functions and fixed poinst theorems
EMİRHAN HACIOĞLU
Yüksek Lisans
Türkçe
2012
MatematikTrakya ÜniversitesiAnaliz ve Fonksiyonlar Teorisi Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. MUSTAFA TELCİ
- M−metrik uzay ve kısmi metrik uzaylarda bazı sabit nokta teoremleri
Some fixed point theorems in M-metric spaces and partial metric spaces
OĞUZ SOLAK
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
MatematikGazi ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ARAP DURAN TÜRKOĞLU
- Zayıf kısmi metrik uzayda genelleştirilmiş küme değerli integral tipli büzülmeler
Generalized multivalued integral type contractions on weak partial metric space
SÜMEYYE COŞKUN
- Neutrosophic üçlü yapılar üzerinde normlu ve metrik uzaylar
Normed and metric spaces on neutrosophic triplet structure
EBRU KAYA
- n. mertebeden tam G ve S-Metrik uzaylardan yeni tam n. mertebeden G ve S-Metrik uzayların elde edilişi üzerine
On obtaining new complete n th order G and S-metric spaces from n th order complete G and S-metric spaces
ESENGÜL TELLİ
Yüksek Lisans
Türkçe
2022
MatematikEskişehir Osmangazi ÜniversitesiMatematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ TEMEL ERMİŞ