Gerilme tekilliğine sahip tabakalı simetrik sandviç plakların sonlu elemanlar yöntemiyle gradyan elastisite teorisine göre statik analizi
Finite element analysis of laminated symmetrical sandwich plates with stress singularities using gradient elasticity theory
- Tez No: 948966
- Danışmanlar: DOÇ. DR. ÜLKÜ HÜLYA ÇALIK KARAKÖSE
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: İnşaat Mühendisliği, Civil Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Yapı Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 113
Özet
Sonlu Elemanlar Yöntemi, kısmi diferansiyel denklemlerle tanımlanan karmaşık mühendislik problemlerinin çözümünde yaygın olarak kullanılan sayısal bir yöntemdir. Bu yöntem, fiziksel bir alanı daha küçük elemanlara bölerek, bu alandaki denklemleri sayısal olarak çözülebilir hale getirmektedir. Özellikle düzensiz geometrilere ve karmaşık sınır koşullarına sahip yapıların mühendislik analizlerinde oldukça etkilidir. Tabakalı sandviç plaklar, homojen kesitli plaklara kıyasla hafiflik, yüksek eğilme ve kayma dayanımı, yüksek enerji sönümleme kapasitesi, uzun yorulma ömrü ve yalıtım gibi avantajları sayesinde mühendislik uygulamalarında yaygın olarak tercih edilmektedir. Bu yapıların makro ölçekte analizleri için kullanılan klasik sürekli ortamlar mekaniği teorileri, analizlerin mikroyapısal düzeyde olması durumunda boyuta bağlı yapısal davranış yakalanamadığı için uygulanamamaktadır. Dolayısıyla, küçük çatlakların davranışı belirlenememekte, tekil kuvvetlerin etki noktalarında, dislokasyon sınırlarında ve keskin çatlak uçlarında oluşan gerilme tekillikleri ve ara yüzeylerde oluşan süreksizlikler de klasik elastisite teorisi ile giderilememektedir. Tabakalı sandviç plakların kırılma ve yorulma problemlerinde güvenilir bir değerlendirme yapılabilmesi için gerilme durumlarının doğru şekilde tahmin edilmesi gerekmektedir. Gevrek malzemeler ve yüksek çevrimli yorulma sonucu çatlayan metaller gibi plastisite etkilerinin ihmal edilebildiği malzemelerde kullanılan gradyan elastisite teorileri ile hem büyük hem de küçük çatlakların davranışları belirlenebilmekte, bununla birlikte gerilme ve şekildeğiştirmelerde oluşan tekillikler önlenebilmektedir. Bu tez kapsamında, gerilme tekilliğine sahip tabakalı simetrik sandviç plakların sonlu elemanlar yöntemiyle gradyan elastisite teorisine göre statik analizleri yapılmış ve hata analizleri gerçekleştirilmiştir. Çalışmada, uygulama kolaylığı açısından en uygun görülen Ru-Aifantis gradyan elastisite teorisi kullanılmıştır. Bu teorinin öne çıkan özellikleri, yalnızca bir iç uzunluk ölçeği parametresi içermesi ve sahip olduğu matematiksel yapısıyla dördüncü dereceden diferansiyel denklemleri, ayrık ve ardışık iki set ikinci dereceden denklem takımı haline getirerek daha basit çözümler sunmasıdır. Ayrıca, sayısal uygulamalar için basit ve doğrusal interpolasyonların yeterli olması, sonlu elemanlar uygulamasını kolaylaştırmaktadır. Tabakalı sandviç plakların plak düzlemine paralel ve plak düzlemine dik yüklemeler altındaki davranışlarını uygun şekilde temsil etmek amacıyla modellemede yirmi serbestlik dereceli tabakalı bir dikdörtgen sonlu eleman kullanılmıştır. Dört düğüm noktasına sahip olan bu elemanın her düğüm noktasında üç yerdeğiştirme ve iki dönme bileşeni bulunmaktadır. Geliştirilen formülasyon, kayma deformasyonlarının önemli olduğu orta kalınlıkta ve kalın plaklar için kullanılabilmesi amacıyla birinci mertebe kayma deformasyonu teorisine dayanmaktadır. İlk olarak, Ru-Aifantis gradyan elastisite teorisinin birinci çözüm adımı için MATLAB programlama dilinde sonlu eleman rijitlik ve yükleme matrislerinin hesaplanıp klasik elastisite teorisine göre sistem çözümünün gerçekleştirildiği ve düğüm noktası yerdeğiştirmelerinin elde edildiği bir kod geliştirilmiştir. Formülasyon ve geliştirilen kod, tabakalı bir sandviç plak örneği üzerinde uygulanmıştır. Model hem özel kod aracılığıyla hem de SAP2000 paket programı kullanılarak çözülmüş ve elde edilen sonuçlar karşılaştırılarak doğruluğu teyit edilmiştir. Daha sonra, Ru-Aifantis gradyan elastisite teorisinin ikinci çözüm adımını oluşturan denklem takımındaki eleman rijitlik matrisi terimleri elde edilerek MATLAB koduna eklenmiş ve sistem rijitlik matrisi oluşturulmuştur. Ayrıca, L2 normunda gerilme hata analizleri için gerekli formülasyon da MATLAB koduna eklenmiş ve basit örnekler üzerinde test edilmiştir. Gerilme tekilliğine sahip çeşitli tabakalı sandviç plak örnekleri çözülerek sonuçlar irdelenmiştir. Bu kapsamda, tekil yük etkisinde çatlaksız ve eksenel yayılı yük etkisinde Mod I çatlağı olan tabakalı sandviç plakların gerilme analizleri gerçekleştirilmiştir. Ayrıca her örnek için L2 normunda hata analizleri yapılıp yakınsaklık oranları elde edilmiştir. Literatürde gradyan elastisite teorisine göre sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak gerilme tekilliğine sahip sandviç plakların iki boyutlu statik analizleri için geliştirilmiş bir çalışmaya rastlanmamıştır. Geliştirilen formülasyonun sonlu elemanlar uygulamasının kolay olması nedeniyle bu çalışmanın literatürde ilgi çekici olacağı düşünülmektedir. Tez kapsamında geliştirilen sonlu eleman modeli, gradyan elastisite teorisinin uygulanabilirliğini göstermiştir. Yapılan sayısal analizlerde klasik elastisite teorisinin tekil yük etki noktasında ve keskin çatlak ucunda oluşan gerilme tekilliklerini gideremediği, buna karşın gradyan elastisite teorisinin bu tekillikleri ortadan kaldırdığı gözlemlenmiştir. Ayrıca hata analizleri sonuçlarına göre, gradyan elastisite teorisinin daha düşük bağıl hata ve daha yüksek yakınsama hızı gösterdiği, sayısal örnekler ile belirlenmiştir. Böylece, tekil yük altında ve keskin çatlak ucunda fiziksel olarak daha gerçekçi gerilme dağılımlarının elde edilmesi sağlanmıştır. Elde edilen gerilme değerlerinin, malzeme veya yapısal bileşenlerin bütünlük değerlendirmesinde doğrudan kullanılarak dayanım analizlerinin yapılabilmesi mühendislik uygulamaları için de önemli olacaktır.
Özet (Çeviri)
The Finite Element Method (FEM) is a powerful numerical technique that has been extensively employed to solve complex engineering problems described by partial differential equations. By discretizing a given physical domain into smaller, manageable finite elements, FEM enables the governing equations of the system to be solved numerically and efficiently. This technique is highly effective for the analysis of engineering structures with irregular geometries, complex loading conditions, and intricate boundary constraints, making it indispensable in modern structural engineering practice. Laminated sandwich plates, on the other hand, have found widespread use in engineering applications owing to their superior mechanical and physical advantages compared to homogeneous plates. These advantages include their lightweight nature, high bending and shear stiffnesses, enhanced energy dissipation capacity, long fatigue life, and improved thermal and acoustic insulation properties. However, when the behavior of such structures needs to be analyzed at the microstructural scale, classical continuum mechanics theories, which generally provide satisfactory results at the macro scale, become inadequate. These traditional theories fail to capture the size-dependent effects and cannot accurately represent the structural behaviors in micro- and nano-scales. As a consequence, they are unable to adequately address stress singularities that occur at points of concentrated loads, dislocation boundaries, crack tips, and material interface discontinuities. Therefore, a reliable and realistic evaluation of stress states is crucial, especially in the fracture and fatigue analyses of laminated sandwich plates. In this regard, gradient elasticity theories have been shown to be highly advantageous, particularly for materials where plasticity effects can be neglected, such as brittle solids or metals experiencing high-cycle fatigue. These theories enable the modeling of both small and large cracks while simultaneously mitigating stress and strain singularities that would otherwise arise under classical elasticity formulations. Within the scope of this thesis, static analysis of laminated symmetrical sandwich plates exhibiting stress singularities is performed by adopting the Finite Element Method combined with gradient elasticity theory. Error analyses are also conducted in order to validate and assess the proposed methodology. In particular, the Ru-Aifantis version of gradient elasticity theory is chosen due to its relative simplicity. This theoretical framework is characterized by introducing a single internal length scale parameter, and its mathematical structure allows for the transformation of fourth-order partial differential equations into two decoupled sets of second-order equations. This transformation offers significant computational advantages by simplifying the solution process. Additionally, the requirement for only simple linear interpolation functions facilitates its practical implementation within the finite element method, contributing to its attractiveness for engineering applications. A rectangular laminated finite element with twenty degrees of freedom is developed to capture the mechanical behavior of laminated sandwich plates under both in-plane and out-of-plane loading conditions. This element is defined by four nodes, with each node possessing three translational and two rotational degrees of freedom, which makes it well-suited for moderately thick and thick plates where shear deformations play a significant role. The element formulation is based on the first-order shear deformation theory, further enhancing its capability to realistically predict plate behavior while avoiding excessive computational complexity. As part of the computational implementation, a MATLAB code is developed to generate the finite element stiffness and loading matrices required for the first solution step of the Ru-Aifantis gradient elasticity theory. This code also performs the classical elasticity-based system solution to obtain the corresponding nodal displacements. The formulation and MATLAB implementation are validated by applying the procedure to benchmark laminated sandwich plate problems, and the results are cross-checked using the commercial finite element software SAP2000, thereby confirming the accuracy and consistency of the proposed method. In a subsequent step, the second solution phase of the Ru-Aifantis gradient elasticity theory is implemented by deriving and adding the relevant stiffness matrix terms to the MATLAB code, thus enabling the construction of the complete system stiffness matrix. In addition, the code is extended to include the formulation for L2 norm-based stress error analysis, which is evaluated for selected simple examples. A range of laminated sandwich plate cases featuring stress singularities is analyzed, including plates subjected to concentrated loads without cracks as well as plates containing Mode I cracks under axial distributed loading. For each scenario, L2 norm error analyses are performed, and convergence rates are systematically quantified. These evaluations confirm the robustness of the proposed approach and its potential applicability to a wide variety of laminated structures subjected to complex stress conditions. To date, no comprehensive study has been identified in the literature that specifically addresses the two-dimensional static analysis of laminated sandwich plates with stress singularities using the Finite Element Method in conjunction with gradient elasticity theory. Thus, this study explicitly aims to fill a significant gap in literature by providing a comprehensive two-dimensional static analysis of moderately thick and thick laminated sandwich plates with stress singularities using gradient elasticity theory. The obtained stress values are also intended to be directly utilized for structural integrity and durability assessments, which is of particular importance for practical engineering applications. The ease of the finite element implementation of the developed formulation is expected to generate considerable interest among academics and practitioners. The finite element model introduced in this thesis has clearly demonstrated the feasibility and effectiveness of applying gradient elasticity theory. Through detailed numerical examples, it has been demonstrated that, whereas classical elasticity theory fails to resolve stress singularities at points of concentrated loading and at crack tips, gradient elasticity theory successfully removes such singularities, thereby providing a more realistic physical representation of stress distributions. Moreover, the error analysis results indicate that gradient elasticity theory achieves lower relative errors and higher convergence rates compared to the classical approach. As a result, more accurate and physically consistent stress distributions have been achieved, enhancing confidence in the structural response predictions of laminated sandwich plates. These findings imply that the obtained stresses can be directly utilized for structural integrity and durability assessments of engineering applications.
Benzer Tezler
- The effects of design parameters on the strength of adhesively bonded single lap joints
Tasarım parametrelerinin tek tesirli yapıştırma bağlantılarının dayanımına etkileri
TİMUR SOĞANCI
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
Makine Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
ÖĞR. GÖR. SÜREYYA ERGÜN BOZDAĞ
- Three dimensional fracture analysis of FGM coatings
Fonksiyonel derecelenmiş kaplamaların üç boyutlu kırılma analizi
ÖZGÜR İNAN
Yüksek Lisans
İngilizce
2004
Makine MühendisliğiOrta Doğu Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. SERKAN DAĞ
- A finite elements based approach for fracture analysis of welded joints in construction machinery
İş makinalarındaki kaynaklı bağlantıların sonlu elemanlara dayalı bir yaklaşımla kırılma analizi
TANER KARAGÖZ
Yüksek Lisans
İngilizce
2007
Makine MühendisliğiOrta Doğu Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. SERKAN DAĞ
- Large deflections of non-linear bi-modulus functionally graded beams under different boundary and loading conditions
Doğrusal olmayan çift modüllü fonksiyonel derecelendirilmiş kirişlerin farklı sınır koşulları ve yüklemeler altındaki büyük yer değiştirmeleri
AYHAN HACIOĞLU
Doktora
İngilizce
2023
Makine Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. CEMAL BAYKARA
- Three dimensional fracture analysis of fillet welds
Köşe kaynaklarının üç boyutlu kırılma analizi
FERHAN FIÇICI
Yüksek Lisans
İngilizce
2007
Makine MühendisliğiOrta Doğu Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. SERKAN DAĞ