Schwarzian türevlerine dayalı yeni kenar algılama yöntemleri ve MBB kenar süzgecinin geliştirilmesi
Novel edge detection methods based on Schwarzian derivatives and the development of the MBB edge filter
- Tez No: 961304
- Danışmanlar: DOÇ. DR. BURCU TUNGA, DR. ÖĞR. ÜYESİ RÜŞTÜ MURAT DEMİRER
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrol, Matematik, Mühendislik Bilimleri, Computer Engineering and Computer Science and Control, Mathematics, Engineering Sciences
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 105
Özet
Schwarzian türevleri, bir fonksiyonun ikinci ve üçüncü türevleri arasındaki bağıntıları değerlendirerek, o fonksiyonun geometrik yapısını daha kapsamlı biçimde analiz etmeye olanak tanır. Bu özellikleri sayesinde Schwarzian türevleri, özellikle analitik fonksiyonların yapısal davranışlarını incelemede etkili bir matematiksel araç olarak öne çıkmaktadır. Bu tezde, hem ilk aşama olan kenar algılama yönteminde hem de ikinci aşama olan MBB kenar süzgecinde temel yapıtaşı olarak Schwarzian türevleri kullanılmıştır. Bu türev yönteminin kullanılabilmesi için Ön-Schwarzian türevinin tanımlanması gereklidir. Ön-Schwarzian türevi, fonksiyonun diferansiyel yapısına dair temel özellikleri ortaya koyarak, Schwarzian türevine geçişte teorik bir ara basamak olarak işlev görmektedir. Ayrıca bu türev türü konformal haritalama, diferansiyel geometri ve dinamik sistemler gibi çeşitli matematiksel disiplinlerde geniş bir uygulama alanına sahiptir. Çalışmanın ilk basamağı olan Schwarzian Türevleri ile Geliştirilmiş Kenar Algılama Yönteminde geliştirilen yöntem, yeni bir bakış açısı kazandırması açısından önemlidir. İlk aşamada, giriş görüntüsü gri tonlamaya dönüştürülüp Otsu yöntemiyle ikili forma getirilmiştir. Bu aşamada, Frobenius normu ile normalize edilen Ön-Schwarzian ve ikinci mertebeden Schwarzian türev operatörleri, kenar yoğunluğu hesaplamalarının temel bileşenleri olarak kullanılmıştır. Önerilen yapıya Sobel, Prewitt ve Canny gradyanlarının entegrasyonu ile Schwarzian-Sobel, Schwarzian-Prewitt ve Schwarzian-Canny isimli üç farklı varyasyon geliştirilmiştir. Bu yöntemler, yönel gradyan gücü ile geometrik duyarlılığı birleştirerek düşük kontrastlı bölgelerde dahi kararlı ve keskin kenar tespiti sağlamaktadır. Değerlendirme çalışmasında, önerilen Schwarzian tabanlı yöntemler klasik kenar algılama teknikleriyle karşılaştırılmıştır. Yapılan deneylerde, özellikle düşük kontrastlı ve ayrıntılı bölgelerde Schwarzian destekli algoritmaların daha keskin ve kararlı kenar haritaları ürettiği gözlemlenmiştir. SSIM metriği açısından en yüksek skorları Schwarzian-Sobel yöntemi elde etmiş; bu yöntem, yapısal benzerlik ve görsel kalite açısından klasik yaklaşımlara kıyasla üstün performans sergilemiştir. Bu tez çalışmasının ikinci basamağı olan MBB kenar süzgeci yöntemi de Schwarzian türevlerine dayanmaktadır. Yöntemde, log-harmonik dönüşümle elde edilen iki farklı fonksiyonun Schwarzian ve Ön-Schwarzian türevleri kullanılarak, görüntüdeki yapısal bozulmalar piksel bazında analiz edilmiştir. Yapılan hesaplamalar sonucunda, log-harmonik dönüşümün türevleri aracılığıyla elde edilen bilgiler, bozulma ölçütü ve kompleks düzlemde tanımlı türev operatörleriyle zenginleştirilmiş yeni bir kenar haritalama yaklaşımı geliştirilmiştir. Ayrıca, dönüşüm sonrası oluşabilecek kenar kayıplarını gidermek ve doğruluk düzeyini artırmak amacıyla diferansiyel karakteristiğe sahip Simon kenar fonksiyonu ile kenar yoğunluğu güçlendirilmiştir. Bu bütünleşik yapı, geleneksel yöntemlerin sınırlılıklarını aşan, ölçek ve kontrast değişimlerine karşı daha tutarlı sonuçlar sunan çevik bir çözüm önermektedir. Schwarzian tabanlı kenar algılama yöntemleri, özellikle düşük kontrastlı ve karmaşık sahnelerde klasik filtrelere kıyasla daha kararlı ve belirgin kenar haritaları üretmiştir. Ayrıca, önerilen MBB kenar süzgeci gerek görsel kalite gerekse CPU (Central Processing Unit) süresi bakımından Canny gibi yöntemlere kıyasla anlamlı ölçüde daha iyi performans göstermiştir. Tüm testler, sabit maske yapısına dayalı klasik yöntemlerle karşılaştırmalı olarak yürütülmüştür. Bu tez kapsamında önerilen iki farklı yaklaşım, Schwarzian türevlerine dayalı yenilikçi kenar algılama çözümleri sunmaktadır. İlk yöntem, klasik filtreleme yaklaşımlarında sıkça karşılaşılan yumuşatma ve gürültüye duyarsızlık gibi sorunları azaltarak yüksek frekanslı detayların korunmasını sağlamaktadır. İkinci yöntem olan MBB kenar süzgeci ise log-harmonik eşleştirmeye dayalı, kompleks düzlemde çalışan ve sabit maske kullanımını ortadan kaldıran esnek bir yapı sunar. Düşük kontrastlı sahnelerde daha net kenarlar elde edilmesini sağlamakta, aynı zamanda CPU süresi bakımından da Canny gibi yöntemlere kıyasla anlamlı bir avantaj sunmaktadır. Her iki yaklaşım da çok ölçekli, yapısal duyarlı ve enerji verimli yapısıyla görüntü işleme uygulamalarında geniş bir potansiyele sahiptir. Özellikle tıbbi görüntüleme alanında MRI (Manyetik Rezonans Görüntüleme - Magnetic Resonance Imaging), CT (Bilgisayarlı Tomografi - Computed Tomography) ve X-ray gibi cihazlara entegre edilerek gerçek zamanlı sistemlerle uyumlu çalışabilmekte ve farklı disiplinlerde etkili çözümler sunabilmektedir.
Özet (Çeviri)
Schwarzian derivatives enable a more comprehensive analysis of a function's geometric structure by evaluating the relationships between its second and third derivatives. They are frequently employed as an effective tool in examining the structural properties of analytic functions. In this thesis, Schwarzian derivatives serve as the foundational component in both the first phase—edge detection—and the second phase—MBB edge filtering. To utilize this derivative method, the Pre-Schwarzian derivative must first be defined as follows: Pf = f'/f'' (1) The Pre-Schwarzian derivative reveals key features of the function's differential structure and acts as a theoretical intermediate step toward deriving the Schwarzian derivative. Based on the Pre-Schwarzian, the second-order Schwarzian derivative is obtained as: Sf = (Pf)'- 1/2(Pf)2 = (f''/f')'-1/2(f''/f')2 (2) This derivative also finds broad applications across various mathematical disciplines such as conformal mappings, differential geometry, and dynamical systems. The first stage of the study, the Edge Detection Method Based on Schwarzian Derivatives, introduces a novel perspective. Initially, the grayscale-converted image is binarized using the Otsu thresholding method. Then, two operators are defined: a first-order edge intensity operator (LI) inspired by the Pre-Schwarzian derivative, and a second-order operator (MI) based on the Schwarzian derivative, as follows: LI = I'' / ||I||+I' (3) MI = (LI)'- 1/2(LI)2 (4) Instead of direct derivative terms, Sobel, Prewitt, and Canny gradients are integrated into these operators, resulting in three variations: Schwarzian-Sobel, Schwarzian-Prewitt, and Schwarzian-Canny. These methods eliminate the need for fixed masks, enabling the preservation of high-frequency details and more stable edge detection in low-contrast regions. In the evaluation phase, the proposed Schwarzian-based methods were compared with classical edge detection techniques. Experimental results revealed that, particularly in low-contrast and fine-detail regions, the Schwarzian-supported algorithms produced sharper and more stable edge maps. The highest SSIM scores were achieved by the Schwarzian-Sobel method, which outperformed classical approaches in terms of structural similarity and visual quality. The second phase of this thesis, the MBB edge filter method, is also grounded in Schwarzian derivatives. The MBB algorithm begins with a grayscale or color image input. To highlight fine details and emphasize structural information, a 2D Continuous Wavelet Transform (2D-CWT) using Marr wavelets is applied. The resulting complex image output is then normalized and scaled via pixel-wise [1, 1] translation. Log-harmonic transformation is applied to generate two complex-valued functions, which are subsequently differentiated using Wirtinger calculus to compute the Pre-Schwarzian and second-order Schwarzian derivatives. Using these derivatives, a dilatation function defined as w = Schw(g)h2/Schw(h)g2 (5) is constructed to quantify the local geometric distortion. Based on this, the distortion metric d = |f(z)-w(z)| (6) is computed at each pixel location. To capture gradient variations in the complex domain, the Complex Gradient Dilatation (CGD), denoted as d' = 1/2(ad/ax +i (ad/ay)) (7) is introduced as a derivative component of Δ(z). This derivative is then used within the Simon boundary function, defined as B(z) = |d'(z)|2 - |f(z)|4 (8) which evaluates edge intensity by measuring light distribution at each pixel. In the final stage, as in conventional edge detection algorithms, an adaptive threshold (s) is computed for each image to segment the final edge map. Schwarzian-based edge detection techniques have proven to yield more stable and distinct edge maps compared to classical filters, particularly in challenging visual scenarios. Moreover, the proposed MBB edge filter significantly outperformed methods like Canny in both visual quality and CPU time. All tests were conducted through comparative analysis with conventional fixed-mask-based techniques. This thesis presents two innovative edge detection solutions based on Schwarzian derivatives. The first method enhances classical filtering by reducing oversmoothing and noise sensitivity, thereby preserving high-frequency details and improving structural consistency in edge localization. The second approach, referred to as the MBB edge filter, introduces a novel log-harmonic matching framework in the complex domain. By computing local geometric distortion through Schwarzian-based dilatation and gradient functions, it allows the detection of edge transitions with increased precision, without relying on fixed masks. The algorithm normalizes each pixel within a unit disk and captures local intensity variations through Wirtinger derivatives, enabling structure-sensitive and direction-aware edge characterization. Both proposed methods are computationally lightweight and offer environmentally sustainable alternatives to deep learning-based detectors, which often suffer from high energy demands and overfitting. The MBB filter, in particular, outperforms traditional methods such as Sobel, Prewitt, Roberts, and Canny in terms of SSIM, PSNR, and entropy metrics. Its flexibility in handling both grayscale and color images, along with robustness under low-contrast and noisy conditions, makes it a highly adaptable solution. The methods have a wide range of potential applications in medical imaging (e.g., MRI, CT, X-ray), autonomous systems, industrial quality inspection, remote sensing, and surveillance systems. Furthermore, their ability to operate without patch-based windowing enhances real-time deployment in intelligent systems. Overall, this study contributes a new family of edge filters grounded in Schwarzian geometry, offering scalable, energy-efficient, and perceptually consistent solutions for advanced image analysis tasks.
Benzer Tezler
- Analysis of two types of cyclic biological system models with time delays
Zaman gecikmeli iki dönüşsel biyolojik sistem modelinin analizi
MEHMET EREN AHSEN
Yüksek Lisans
İngilizce
2011
Biyolojiİhsan Doğramacı Bilkent ÜniversitesiElektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü
PROF. DR. HİTAY ÖZBAY
