Bazı analitik fonksiyonlar için subordinasyon ve argüman davranışı üzerine yeni uygulamalar
New applications on subordination and argument behaviour for certain analytic functions
- Tez No: 997156
- Danışmanlar: PROF. DR. SEHER MELİKE AYDOĞAN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2026
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Yalınkat fonksiyonlar, kompleks analizin dikkat çeken konularından biridir. Bu alanda günümüzde de çalışmalar yapılmaktadır. Geometrik fonksiyon terosinin bir parçası olarak konformal dönüşümlerle, geometrik yapılarla ve sınır davranışlarıyla olan incelemeleri ile yalınkat fonksiyonlar, kompleks analizde hem klasik hem de güncel araştırmaların dikkat çeken konuları arasında yer almaktadır. Bu tezin temel amacı U= {z∈C∶ |z|<1} açık birim diski üzerinde tanımlanmış bazı analitik fonksiyonlar için subordinasyon ve argüman özelliklerinin incelenmesidir. Bu nedenle keyfi seçilen basit bağlantılı bölgeler yerine U da tanımlı yalınkat fonksiyonlarla çalışmak çoğu zaman daha uygundur. Tezdeki ilk çalışma olarak fonksiyonların türevlerinin varolması ve sürekli olması koşullarıyla analitik fonksiyonlar tanımlanmaktadır. Bir D⊂C bölgesindeki analitik fonksiyonların yalınkat olma durumu ise yalınkat bir fonksiyonun bölgeyi birebir olarak başka bir bölgeye dönüştürmesi koşuluyla incelenmektedir. Bu yalınkat görüntü, analitik fonksiyonların görüntüleri ile ilgili detaylı bir araştırma yapılmasını sağlar. A ile temsil edilen analitik fonksiyonlar sınıfının bir alt sınıfı olan ve birim diskte f(0)=f^' (0)-1=0 ile normalize edilmiş yalınkat fonksiyonları gösteren S sınıfının en önemli örneklerinden biri de Koebe fonksiyonudur. Koebe fonksiyonu ve onun rotasyonları, yalınkat fonksiyonlar teorisinde birçok ekstremal problem için keskin sınırların elde edilmesinde temel bir rol oynamaktadır. Eşitsizliklerin en uç durumları Koebe fonksiyonu ve onun rotasyonları tarafından sağlanmaktadır. Eğer bir teorem Koebe ve rotasyonları için doğruysa, genellikle tüm S sınıfı için doğrudur. Yalınkat fonksiyonlara ait olan alt sınıfların en önemlilerinden ve bu tezde de üzerinde duracağımız ikisi konveks ve yıldızıl fonksiyonlardır. Konvekslik ve yıldızıllık bir fonksiyonun görüntü kümesinin belirli bir şekle sahip olduğunu ifade eder. Geometrik olarak, aralıktaki herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasının tamamen grafiğin içinde kalması ile konveks fonksiyon, herhangi bir noktayı orijine birleştiren doğru parçasının tamamının görüntü kümesinin içinde kalması ile de yıldızıl fonksiyon ifade edilir. f(z) ifadesi bir fonksiyonun nerede olduğunu gösterir. f^' (z) ifadesi fonksiyonun değişimini gösterir. (zf^' (z))/(f(z)) ve 1+(zf^'' (z))/(f^' (z) ) ifadeleri de fonksiyonun ne kadar döndüğünü ve ne kadar büyüdüğünü gösterir. Konveks ve yıldızıl fonksiyonların α-mertebeli olması ile ilgili de çalışmalar ele alınmıştır. Konveks ve yıldızıl fonksiyonların reel ve imajiner kısım incelemeleri ve α ya bağlı olarak güçlü olma, dönme ve büyüme durum incelemeleri yapılmıştır. Tek değişkenli fonksiyonlarda yapılan çalışmalara ek olarak tezin son bölümünde p-valent fonksiyonlar üzerinden de bazı çalışmalar vurgulanmıştır. A_p sınıfı, taylor seri açılımlarında belirli bir başlangıç terimine ve yüksek dereceden terimlere sahip fonksiyonları içermektedir. Bu fonksiyonların açık birim disk içerisinde incelenmesi yani analitik özelliklerinin, argüman davranışının ve subordinasyon karakteristiklerinin araştırılmasını kapsamakta olup çeşitli ilginç ve önemli sonuçların elde edilmesine yol açmaktadır. Karmaşık analizde bu alan, argüman problemleri ve subordinasyon gibi kavramlar aracılığıyla fonksiyonların davranışlarını incelemekte bu fonksiyonların geometrik özellikleri nasıl dönüştürdüğüne ve fonksiyonların nasıl çizildiğine dair yeni bulgular ortaya koymaktadır. Bu gelişmeler analitik fonksiyonların teorik özelliklerinin ve pratik uygulamalarının birleşimini anlamamıza yardımcı olmaktadır. A_p sınıfıyla ilişkili olarak (A_p ) ̅ sınıfı şeklinde yeni bir sınıf tanıtılmaktadır. Bu sınıf, A_p sınıfının açık birim disk üzerinde tanımlı, analitik ve kesirli kuvvetler içeren özel bir seri açılımına sahip fonksiyonlardan oluşan bir alt sınıfını ifade eder. Bu alt sınıfta yapılan çalışmalar bir çerçeve sunmakta ve ayrıca bu analitik fonksiyonların karmaşık argüman problemlerinin çözümünde nasıl kullanılabileceğini araştırmaktadır. Geometrik fonksiyonlar teorisindeki son gelişmelerde, bu sınıfa ait analitik fonksiyonlar için yeni uygulamalar önemli ölçüde ilgi görmektedir. Belirli subordinasyon koşullarını sağlayan bu fonksiyonlar, argüman problemleri ve bunların sonuçları hakkında yeni bakış açıları vermektedir. A_p sınıfının p-valent, j inci türevlerinin güçlendirilmiş hali olan A_p (j,α) özel alt sınıfıyla ilgili de çeşitli örnekler üzerinden incelemeler yapılmıştır. Subordinasyon, karmaşık analizde, özellikle analitik fonksiyonlar teorisinde temel bir kavramdır ve bir fonksiyonun görüntüsünün diğer bir fonksiyonun görüntüsü içinde kalması yoluyla iki analitik fonksiyonun davranışlarını karşılaştırmaya imkân tanır. Geometrik olarak, subordinasyon, bir analitik fonksiyonun, bileşim yoluyla başka bir analitik fonksiyon tarafından kontrol edilmesini ifade eden bir ilişkiyi tanımlar. Bu kontrol sayesinde davranışı iyi bilinen bir fonksiyona göre durumu incelenmiş olur. Bu sayede konformal dönüşümler, distorsiyon, sınır davranışları, geometrik yapı ve buna benzer birçok alanda özellikler hakkında önemli bilgiler sunar. Ayrıca, subordinasyon kavramı ayrıntılı biçimde ele alınmış ve birim disk içinde tanımlı analitik fonksiyonlar ile yalınkat ve p-valent fonksiyonlara nasıl subordine olabileceği incelenmiştir. Özellikle yalınkat fonksiyon sınıflarının incelenmesinde ve ekstremal problemlerin çözümünde önemli bir rol oynamaktadır. Bu çalışmada yapılan tartışmalar, (A_p ) ̅ sınıfındaki fonksiyonların davranışları üzerinde argümanlarının ve kesirli kuvvetli üslerin etkisinin analiz edilmesinin önemini ortaya koymaktadır. Fejér ve Riesz lemmalarından elde edilen özellikler ile Tsuji'nin bu sonuçlara getirdiği genişletmelerden yararlanılarak, söz konusu fonksiyonların analitik karakteristikleri hakkında daha derin bir anlayış sağlanmıştır. Suffridge lemması kullanılarak, bu subordinasyon ilişkisinin bu sınıftaki fonksiyonların yapısı ve davranışı hakkında önemli bilgiler ortaya koyduğu gösterilmiştir. Verilen dikkat çekici örnekler aracılığıyla, bu çerçeveden elde edilen sonuçların pratik yansımaları ortaya konmuş; fonksiyonların dönüşüm (mapping) özellikleri ve geometrik etkileri üzerine yeni bakış açıları sunulmuştur. Bu örnekler, kesirli kuvvetli seri açılımlarına sahip analitik fonksiyonların karmaşık analizdeki rolünü vurgulayarak, teorik sonuçların uygulamaya dönük önemini açıkça göstermektedir. Sonuç olarak, bu tez çalışması analitik ve yalınkat fonksiyonların argüman davranışları ve subordinasyon açısından bazı uygulamalarını içermektedir. Elde edilen sonuçlar, konveks ve yıldızıl fonksiyonlar, α mertebeli fonksiyonlar ve kesirli kuvvet serileriyle ilişkili, p-valent fonksiyonların daha iyi anlaşılmasını sağlamaktadır. Ayrıca, bu çalışmada sunulan yöntemler ve sonuçlar, söz konusu fonksiyon sınıflarının ek özelliklerinin ve uygulamalarının incelenebileceği gelecekteki araştırmalar için bir temel oluşturmakta ve geometrik fonksiyonlar teorisi ile kompleks analizdeki rollerinin daha derinlemesine kavranmasına katkı sunmaktadır. Bu bize analitik ve yalınkat fonksiyonlarla ilgili yeni bir yol haritası çizilmesini sağlamaktadır.
Özet (Çeviri)
Univalent functions represent one of the most significant and actively studied topics in complex analysis. Due to the work of geometric function theory, their strong connections with conformal mappings, geometric structures, and boundary behavior, univalent functions continue to attract attention in both classical and contemporary research. The main objective of this thesis is to investigate new applications related to subordination and argument behavior for certain classes of analytic functions defined on the open unit disk U= {z∈C∶ |z|<1}. Therefore, it is often more appropriate to work with univalent functions defined on U rather than on arbitrarily chosen simply connected regions. At the beginning of the study, analytic functions are introduced that their derivatives exist and are continuous throughout the open unit disk. The concept of univalence is examined by imposing the condition that an analytic function defined on a domain D⊂C maps the domain one-to-one onto another domain. This injective mapping property allows for a detailed investigation of the image domains of analytic functions. The study focuses on the class A of analytic functions and its subclass S, which consists of normalized univalent functions f(0)=f^' (0)-1=0 in the unit disk. One of the most important and classical examples in this class is the Koebe function. The Koebe function and its rotations play a fundamental role in obtaining sharp bounds for many extremal problems in the theory of univalent functions. The extreme cases of various inequalities are attained by the Koebe function and its rotations. If a theorem holds for the Koebe function and its rotations, then it is generally valid for the entire class S. Among the subclasses of univalent functions, convex and starlike functions are of particular importance and constitute the main focus of this thesis. Convexity and starlikeness describe the shape of the image domains of analytic functions. Geometrically, a function is said to be convex if the line segment joining any two points in its image domain lies entirely within the image. Similarly, a function is called starlike if the line segment joining any point in the image domain to the origin lies completely inside the image. These geometric concepts are essential in understanding the behavior of univalent functions such that f(z) describes where the function stays, f^' (z) describes the transformation of the function, (zf^' (z))/(f(z)) and 1+(zf^'' (z))/(f^' (z) ) describe the growth, rotation, and distortion of analytic mappings. In this thesis, special attention is also given to convex and starlike functions of order α. The parameter α plays a role in controlling the strength of the geometric conditions of the functions. As α\alphaα increases, the corresponding function classes become more restrictive, leading to stronger geometric and analytic properties. The behavior of the real and imaginary parts of the defining expressions is analyzed in details to understand how the parameter α affects the rotation and growth of these functions. In addition to single-valued univalent functions, the final part of the thesis extends the investigation to p-valent functions. The class A_p consists of functions whose Taylor series expansions begin with a prescribed initial term and contain higher-order terms. The study of these functions on the open unit disk involves an analysis of their analytic properties, argument behavior, and subordination characteristics. These investigations shows several interesting and significant results in complex analysis. These developments contribute to a deeper understanding of the relationship between the theoretical rules and practical applications of analytic functions. Within this work, a new subclass related to A_p, (A_p ) ̅ is introduced. This subclass consists of functions that are analytic in the unit disk and possess a special series expansion involving fractional powers. This new class offers a structured work for examining how fractional power series affect the behavior of functions. The introduction of fractional exponents significantly influences the argument behavior of analytic functions for studying argument problems. In recent developments in geometric function theory, new applications of analytic functions belonging to this class have attracted significant attention. Functions satisfying certain subordination conditions provide new perspectives on argument problems and their consequences. In addition, various examples have been examined for the special subclass A_p (j,α), which represents a strengthened form of the j-th derivatives of p-valent functions in the class A_p. An important tool throughout the thesis is the concept of subordination. Subordination is a fundamental information in complex analysis that allows the behaviors of two analytic functions to be compared by means of one function's image being contained within the image of another function. Geometrically, subordination expresses the inclusion relationship between the image domains of two functions. This control is effective in behavior results of well-known functions. This concludes results in so many issues like conformal transformations, distortion theorems, boundary behavior results, geometric structures. In this thesis, subordination is examined in detail for functions defined on the unit disk, with affects on its applications to univalent and multivalent function classes. It plays an important role particularly in the study of classes of univalent functions and in the solution of extremal problems. The discussions carried out in this study highlight the importance of analyzing the effects of argument behavior and fractional powers on the functions belonging to the class (A_p ) ̅. Properties derived from the Fejér and Riesz lemmas, together with due to Tsuji, are employed to obtain deeper insight into the analytic characteristics and argument behavior of the considered function classes. Moreover, Suffridge's lemma is used to establish subordination results and to reveal essential structural properties of the functions under investigation. The theoretical findings are complemented by carefully selected examples that properties of mappings and applicability of the obtained results. These examples shows the practical implications of the theory and provide new perspectives on the mapping properties and geometric behavior of analytic functions with fractional power series expansions. In conclusion, this thesis contributes to the study of analytic and univalent functions by presenting new applications related to argument problems and subordination. The results obtained enhance the understanding of convex and starlike functions, functions of order α, and p-valent functions associated with fractional power series. Furthermore, the methods and results presented in this work provide a foundation for future research, where additional properties and applications of these function classes may be explored, thereby deepening our understanding of their role in geometric function theory and complex analysis. This allows us to establish the development of a new perspective on analytic and univalent functions.
Benzer Tezler
- Bazı analitik fonksiyon sınıfları için integral ortalama eşitsizlikleri
Integral means inequalities for some analytic functions classes
SEVTAP SÜMER EKER
- Analitik fonksiyonların bazı alt sınıfları için dördüncü Hankel determinantı
Fourth Hankel determinant for some subclasses of analytic functions
BÜŞRA KÖRFECİ
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
MatematikDicle ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HATUN ÖZLEM GÜNEY
- Bazı özel polinomların ünivalent fonksiyonlar teorisindeki uygulamaları
Başlık çevirisi yok
MİRZAOLİM TURABAEV
Yüksek Lisans
Türkçe
2021
MatematikKırgızistan-Türkiye Manas ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MUHAMMET KAMALİ
- Genelleştirilmiş diferansiyel operatörler kullanılarak tanımlanmış meromorfik harmonik fonksiyonların bazı alt sınıfları
Some subclasses of meromorphic harmonic functions defined by using generalized differential operators
F. MÜGE SAKAR