Kimya ve biyolojide kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerle matematiksel modellemeler
Mathematical modeling with fractional-order differential equations in chemistry and biology
- Tez No: 999668
- Danışmanlar: PROF. TESLİMA DAŞBAŞI, DOÇ. BAHATDİN DAŞBAŞI
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Biyoloji, Matematik, Kimya, Biology, Mathematics, Chemistry
- Anahtar Kelimeler: Kesirli Mertebeden Diferansiyel Denklem, Brusselator, Bakteriyel Enfeksiyon Modeli, Kalitatif Analiz, Sayısal Analiz, RMSE, Fractional-Order Differential Equation, Brusselator, Bacterial Infection Model, Qualitative Analysis, Numerical Analysis, RMSE
- Yıl: 2024
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Kayseri Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Hesaplamalı Bilimler ve Mühendislik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Matematiksel modelleme, gerçek bir sistemin karmaşık davranışını tanımlamak için matematiksel dil açısından soyut bir model formüle etme sürecidir. Bir modelin matematik dilini kullanan herhangi bir tanımına matematiksel model denilebilir. Matematiksel modelleme doğa bilimleri, bilgisayar, mühendislik, meteoroloji, ekonomi ve finans alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Gerçek dünyadaki süreçlerin modellenmesiyle ilgilidir. Bu denklemlerin çoğu diferansiyel denklemlerdir. Bu tezde kimya ve biyomatematik alanında üç farklı model tanıtılarak çeşitli analizler yapılmıştır. Tez çalışması altı bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünde, matematiksel modellemelerin birçok uygulamalı bilim açıdan önemi vurgulanarak tez genel hatları ile tanıtılıp konu ile ilgili literatürden bahsedilmiştir. Birinci bölümde, adi diferansiyel denklem sistemleri ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Tezin ikinci bölümünde, kesirsel mertebeden diferansiyel denklem sistemleriyle ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilip kesirsel mertebeli türevler tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde Brusselator reaksiyon modeli verilerek orantısız kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerle ifade edilip denge noktasının kararlılık analizi yapılmıştır. Modeldeki türev mertebelerinin kesirli ve birbirinden farklı olduğu durumlar üzerinde hesaplamalar yapılarak sayısal simülasyonlar gerçekleştirilmiştir. Adi diferansiyel denklemlerin kararlılık analizi sonuçlarından farklı sonuçlar elde edilmiş ve Brusselator kimyasal reaksiyon modelinin karmaşık yapısı aydınlatılmaya çalışılmıştır. Daha sonra dördüncü bölümde, Holling tip II fonksiyonel yanıtına sahip bakteriyel enfeksiyon modeli için kesirli mertebeden bir matematiksel model önerilmiştir. Bakteriyel enfeksiyona maruz kalan ve çoklu antibiyotik tedavisi gören bir birey için bakteri yükünü, efektör ve hafıza hücre popülasyonunu değişken olarak kabul eden yeni bir kesirli mertebeden diferansiyel denklem modeli önerilmiş ve modelin enfeksiyonsuz denge noktasının kararlılık analizi yapılmıştır. Ayrıca sayısal simülasyonlarla desteklenmiştir. Son olarak beşinci bölümde, çoklu antibiyotik tedavisi kokteyli alan enfekte bir bireyde bakteri dinamiklerini ve antibiyotik konsantrasyonlarını inceleyen matematiksel model, Caputo fraksiyonel türevini içeren orantısız kesirli dereceli diferansiyel denklem sistemi aracılığıyla önerilmiştir. Her zaman var olan enfeksiyonsuz denge noktasının R_0<1 kararlılığı ve R_0>1 olduğunda var olan endemik denge noktasının kararlılığı, R_0 eşik parametresine göre analiz edilmiştir. Analiz sonuçları, Mycobacterium Tuberculosis (Mtb) için izoniazid (INH), rifampisin (RIF), streptomisin (SRT), pirazinamid (PZA), Escherichia Coli (E. coli) için imipenem (IPM) and ciprofloxacin (CIP) ve Acinetobacter Baumannii (A. Baumannii) için imipenem (IPM) and ciprofloxacin (CIP) antibiyotikleri dikkate alınarak literatürden elde edilen veriler kullanılarak sayısal simülasyonlar yoluyla desteklendi. Sayısal çalışmalarda elde edilen sonuçlar tam olarak gerçek durumlarla tutarlı olmuştur. Bu bağlamda yukarıda belirtilen bakterilerin neden olduğu enfeksiyonlarda önerilen tedavi süreleri ile uyumlu sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca önerdiğimiz modelin sonuçlarının, keyfi bir enfeksiyon durumu için verilen değişkenlerin bazı değerlerine göre oldukça başarılı sonuçlar (düşük RMSE değeri) verdiği gösterilmiştir. Özetlemek gerekirse bu modeller, Kimya ve Biyolojideki kullanım alanlarına ilişkin literatürde farklı bakış açıları sunmaktadır. Ayrıca oluşturulan modellerin sayısal simülasyon çalışmaları gerçek durumlarla tutarlı sonuçlar vermiştir.
Özet (Çeviri)
Mathematical modeling is the process of formulating an abstract model in terms of mathematical language to describe the complex behavior of a real system. Any description of a model that uses the language of mathematics can be called a mathematical model. Mathematical modeling is widely used in natural sciences, computing, engineering, meteorology, economics and finance. It is about modeling real-world processes. Most of these equations are differential equations. In this thesis, three different models in the field of chemistry and biomathematics were introduced and various analyzes were carried out. The thesis consists of six chapters. In the introduction section, the thesis was introduced in general terms by emphasizing the importance of mathematical modeling in many applied sciences and the literature on the subject was mentioned. In the first chapter, basic definitions and theorems regarding ordinary differential equation systems were given. In the second part of the thesis, basic definitions and theorems related to fractional order differential equation systems are given and fractional order derivatives are introduced. First, the Brusselator reaction model was introduced and the stability analysis of the equilibrium point was made by expressing it with non-proportional fractional order differential equations. Numerical simulations were carried out by making calculations on cases where the derivative orders in the model were fractional and different from each other. Different results were obtained from the stability analysis results of ordinary differential equations and the complex structure of the Brusselator chemical reaction model was tried to be elucidated. Then, a fractional order Mathematical Model is proposed for the bacterial infection model with Holling type II functional response. For an individual exposed to bacterial infection and receiving multiple antibiotic treatments, a new fractional differential equation model that accepts the bacterial load, effector and memory cell population as variables is proposed, and the stability analysis of the infection-free equilibrium point of the model is made and supported by numerical simulations. Lastly, mathematical model that examines the dynamics of bacteria and antibiotic concentrations in an infected individual receiving cocktail of multiple-antibiotic therapy has been proposed through an incommensurate fractional-order differential equation system including the Caputo fractional derivative. The stability for R_0<1 of the infection-free equilibrium point, which all the time existed, and the stability of the endemic equilibrium point, which existed when R_0>1, were analyzed according to the introduced threshold parameter R_0 where conditions obtained newly in this study. The outcomes of analysis were promoted through numerical simulations by using the data procured from literature, considering the antibiotics isoniazid (INH), rifampicin (RIF), streptomycin (SRT), pyrazinamide (PZA) for Mycobacterium Tuberculosis (Mtb), the antibiotics imipenem (IPM) and ciprofloxacin (CIP) for Escherichia Coli (E. coli) and the antibiotics IPM and CIP for Acinetobacter Baumannii (A. Baumannii). The results obtained in numerical studies have been consistent exactly real situations. In this context, results compatible with the recommended treatment periods for infections caused by the bacteria mentioned above were obtained. In addition, it has been shown that the results of our proposed model give very successful results (low RMSE value) according to some values of the variables given for an arbitrary infection situation. To wrap up, these models offer different perspectives in the literature on areas of use in Chemistry and Biology. In addition, numerical simulation studies of the created models yielded results consistent with real situations.
Benzer Tezler
- Some results on fractional boundary value problems with slit strip and multi strip boundary conditions
Yarık şerit ve çoklu şerit sınır koşullarına sahip kesirli sınır değer problemleri üzerine bazı sonuçlar
DIYAR HASHIM MALO HAJANI
Yüksek Lisans
İngilizce
2017
MatematikYüzüncü Yıl ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. ZEYNEP KAYAR
- Kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin tam çözümleri
Exact solutions of fractional differential equations
ÖZKAN GÜNER
Doktora
Türkçe
2014
MatematikEskişehir Osmangazi ÜniversitesiMatematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. AHMET BEKİR
- Atangana - Baleanu kesirli integralleri yardımıyla farklı türden konveks fonksiyonlar için eşitsizlikler
Inequalities for different types of convex functions via Atangana - Baleanu fractional integrals
KEZİBAN NUR DEMİR
Yüksek Lisans
Türkçe
2023
MatematikAğrı İbrahim Çeçen ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ EBRU YÜKSEL
- Modeling the potential of microorganisms on the removal of 2,4-dichlorophenoxyacetic acid from aqueous solutions by adsorption
Sulu çözeltilerden 2,4-diklorofenoksiasetik asit?in adsorpsiyon ile uzaklaştırılmasında mikroorganizmaların etkisinin modellenmesi
DUYGU OVA
Yüksek Lisans
İngilizce
2010
Kimya MühendisliğiEge ÜniversitesiKimya Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. BİKEM ÖVEZ
- Bazı tam ve yaklaşık çözüm yöntemlerinin kesir mertebeli diferensiyel denklemlere uygulanması
The application of some exact and approximate solution methods to fractional differential equations
GÜLİSTAN BALCI KORKMAZ
Yüksek Lisans
Türkçe
2018
MatematikEskişehir Osmangazi ÜniversitesiMatematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET NACİ ÖZER