Stability criteria of the perturbed impulsive differential equation with respect to its unperturbed one with initial time difference
Pertörb impalsif diferansiyel denklemin pertörb olmayan impalsif diferansiyel denklemine göre başlangıç zaman farklı kararlılık kriterleri
- Tez No: 1022620
- Danışmanlar: PROF. DR. COŞKUN YAKAR
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2026
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Gebze Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Bu tezde başlangıç zamanı farkı (BZF) çerçevesinde, pertörb impalsif diferansiyel denklemlerin (İDDlerin) pertörb olmayan karşılıklarına göre kararlılık kriterlerini incelenmektedir. Mekanik, epidemiyoloji ve ekonomi gibi pek çok gerçek dünya uygulamasında, evrimsel süreçler genellikle kısa süreli bozulmaların neden olduğu ani değişiklikler yaşarlar. Bu etkiler ihmal edilebilir bir zaman ölçeğinde gerçekleştiği için ayrık impalslar olarak modellenirler. Bu dinamik sistemlerin söz konusu ani değişimlere nasıl tepki verdiğini anlamak; çeşitli bilimsel alanlarda kontrolü ve öngörülebilirliği sürdürmek açısından temel öneme sahiptir. Bu çalışmanın birincil amacı, pertörb ve pertörb olmayan sistem versiyonlarının farklı başlangıç zamanlarında ve pozisyonlarında başladığı durumlar için titiz kararlılık koşulları oluşturmaktır. Bunu başarmak için öncelikle pertörb olmayan sistemi, pertörb olanın başlangıç noktasına uyacak şekilde kaydırıyoruz. Daha sonra, pertörb sistem ile kaydırılmış pertörb olmayan sistem arasındaki farka dayalı skaler bir IDD kuruyoruz. Bu skaler IDD'nin çözümleri, pertörb sistemin pertörb olmayan sisteme göre nasıl davrandığını yansıtır; başka bir deyişle, bu ilişki BZF kararlılık kriterlerini belirler. Lyapunov fonksiyonlarını, karşılaştırma prensiplerini ve parametrelerin değişimi formülünü kullanarak bu kararlılık kriterleri için gerekli koşulları ortaya koyuyoruz. Çalışmada klasik BZF kararlılığı, BZF Lipschitz kararlılığı, BZF pratik kararlılığı, BZF sınırlılığı ve BZF Lagrange kararlılığı dahil olmak üzere çeşitli kararlılık kavramlarını analiz ediyoruz. Bu kriterler, sistem davranışının belirli sınırlar içinde ve sonsuz zaman aralıklarında kapsamlı bir şekilde anlaşılmasını sağlar. Bu çalışmanın literatüre sağladığı önemli bir katkı, zaman farklarını ele almak için geliştirilmiş metodolojik bir yaklaşımın sunulmasıdır. Çözümlerin varlığını garanti etmeyebilen ve sola kaydırma yöntemine dayanan mevcut çalışmaların aksine, bu tez sağa yanlı zaman kayması ($\mu = \tau_0 - t_0$) yaklaşımını önermektedir. Bu yaklaşım, $t \geq \tau_0$ için çözümlerin varlığını garanti ederek kararlılık analizi için daha güvenilir ve matematiksel olarak sağlam bir çerçeve sunar. Ayrıca, literatürde genellikle sadece pertörbe edilmemiş sistemler incelenirken, bu tezde hem pertörbe hem de pertörbe edilmemiş sistemlerin ele alınması çalışmanın bir başka özgün katkısıdır. Teorik bulgular, önerilen yöntemlerin gerçek dünya fenomenlerine uygulanabilirliğini gösteren açıklayıcı ve sayısal örneklerle desteklenmiştir. Genel olarak bu araştırma, pertörb ve pertörb impalsif sistemler arasındaki ilişkiyi netleştirmekte ve uygulamalı matematik alanındaki gelecekteki çalışmalar için daha güçlü bir temel oluşturmaktadır.
Özet (Çeviri)
In this thesis, we have investigated that the stability criteria of perturbed impulsive differential equations (IDEs) with respect to their unperturbed counterparts under the framework of initial time difference (ITD). In many real-world applications, such as mechanics, epidemiology, and economics, evolutionary processes often experience abrupt changes caused by short-term perturbations. Since these effects occur over a negligible timescale, they are modeled as discrete impulses. Understanding how these dynamical systems respond to such discrete changes is essential for maintaining control and predictability in various scientific fields. The primary objective of this study is to establish rigorous stability conditions for systems where the perturbed and unperturbed versions start at different initial times and positions. To achieve this, we first shift the unperturbed system to match the initial point of the perturbed system. Next, we construct a scalar IDE based on the difference between the perturbed system and the shifted unperturbed one. The solutions of the scalar IDE reflect how the perturbed system behaves with respect to the unperturbed one. In other words, this relationship establishes the ITD stability criteria. By utilizing Lyapunov functions, comparison principles, and the variation of parameters formula, we establish the necessary conditions for these stability criteria. We analyze several stability notions, including classical ITD stability, ITD Lipschitz stability, ITD practical stability, ITD boundedness, and ITD Lagrange stability. These criteria provide a comprehensive understanding of system behavior within specific limits and over infinite time horizons. A significant contribution of this work is the introduction of a refined methodological approach to handle time differences. Unlike existing studies that rely on a leftward time shift, which may not guarantee the existence of solutions, this thesis proposes a rightward time shift ($\mu = \tau_0 - t_0\geq 0$). This approach ensures the existence of solutions for $t \geq \tau_0$, providing a more reliable and mathematically sound framework for stability analysis. Furthermore, while the existing literature primarily focuses on unperturbed systems, this study provides a comprehensive analysis of both perturbed and unperturbed systems, representing an additional novel contribution to the field. The theoretical findings are supported by illustrative and numerical examples, demonstrating the practical applicability of the proposed methods to real-world phenomena. Overall, this research clarifies the relationship between perturbed and unperturbed impulsive systems and establishes a stronger foundation for future studies in applied mathematics.
Benzer Tezler
- İmpalsif diferensiyel denklemler için parametrelerin değişimi ve stabilite
Variation of parameters and stability for impulsive differential equations
BORA ARSLANTÜRK
Yüksek Lisans
Türkçe
2015
MatematikGebze Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. COŞKUN YAKAR
- Stability theory of set valued differential equations
Küme değerli diferensiyel denklemlerin kararlılık teorisi
MUHARREM BARKIN
Yüksek Lisans
İngilizce
2017
MatematikGebze Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. COŞKUN YAKAR
- Initial time difference stability analysis of set differential equations involving causal operators
Nedensel operatörleri içeren küme diferansiyel denklemlerin başlangıç zaman farklı kararlılık analizi
HAZM TALAB
Doktora
İngilizce
2022
MatematikGebze Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. COŞKUN YAKAR
- İki ölçü cinsinden başlangıç zaman farklı sınırlılık ve Lagrange stabilite
Initial time difference boundedness and Lagrange stability in terms of two measures
MUHAMMED ÇİÇEK
Yüksek Lisans
Türkçe
2010
MatematikGebze Yüksek Teknoloji EnstitüsüMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. COŞKUN YAKAR
- Nonlinear modeling and flight control system design of an unmanned aerial vehicle
Bir insansız hava aracının doğrusal olmayan modellemesi ve uçuş kontrol sistemi tasarımı
DENİZ KARAKAŞ
Yüksek Lisans
İngilizce
2007
Makine MühendisliğiOrta Doğu Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. TUNA BALKAN
PROF. DR. BÜLENT PLATİN