Genelleştirme Hilbert dönüşümleri
Generalized Hilbert transforms
- Tez No: 166625
- Danışmanlar: DOÇ. DR. MAHİR HASANOV
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2005
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 43
Özet
GENELLEŞTİRİLMİŞ HİLBERT DÖNÜŞÜMLERİ ÖZET Sözde diferansiyel operatörler ve Fourier integral operatörler kısmi türevli diferansiyel denklemlerin çözümlerinde, diferansiyel operatörlerin tersinin veya farklı genişlemelerinin bulunmasında ortaya çıkmaktadır. Sözde diferalsiyel operatörler genelde Au= f e^o(x,0û(0de Fourier integral opertörleri ise Fu= [ ei$Ma(x^)â(()^ şeklinde tanımlanmaktadır ve burada a(x, £) sembolü ve 3>(:r, £) faz fonksiyonu ek koşulları sağlamaktadır ([1] - [4]). Bu operatörlerin farklı uzaylarda tanımlanması, sürekli genişlemesi, kompaktlık koşulları, spektral yapılarının irdelenmesi gibi sorular temel sorulardır. Örneğin a(x,Ç) ? STs, 0 ^ p,6 ^ 1 olmak üzere A operatörünü Lp ve Hs Sobolev uzaylarına sürekli genişlemesinin bulunması konusunda pek çok araştırmalar yapılmıştır ([5] - [10]). [11] 'de S < p ise bütün A G L°pS operatörlerinin L2(Rn)'den L2(Rn)'e sınırlı olduğu ispatlamıştır. Eğer (2.5.1) eşitsizliği K herhangi bir kompakt küme olmak üzere x e K C Rn için bir A*,/3,ır sabiti için sağlanıyorsa Hörmander [5] her A e L°5 operatörünün L^>TOp(Rn)'den L^R^'e sınırlı bir operatör olacak şekilde genişletilebileceğini ispatlamıştır. Diğer yandan Kumano-Go [9] p < 1 olmak üzere L°p x sınıfından bir L-ı süreksiz operatöre örnek vermiştir. Calderon ve Vaillancourt [12] ise 0 < p < 1 için LQ sınıfından operatörlerin L2(Rn)'denL2(Mn)'e sürekli lineer tasvirler olduğunu ispatlamışlardır. Bu sonuç özellikle P = \ için lineer kısmi diferansiyel denklemlerde ve özellikle de subeliptik operatörlerin incelenmesinde önemli bir rol oynamıştır. STs Hörmander sınıfları C°°'un bir alt sınıfıdır. Fakat uygulamada C°° sınıfında bulunmayan ve hatta sürekli olmayan a (x,Ç) sembolleri ile karşılaşmaktayız. [10] 'de sembolü R2 x R2 uzayının konik bir altkümesinin karakteristik fonksiyonu olan bir sınıf sözde diferansiyel operatörü incelemişler ve c(x) tanım kümesi D C R2 olan reel değerli bir fonksiyon ve T = {(x, f) = (xiı %2, fi, £2) I x G D, £2 > c(x)Çı} kümesi R2 X R2 uzayında bir koni olmak üzere L(f)(x) = Je-2T-t*r(x,0f(!;)dÇ operatörleri ile ilgilenmişlerdir. [10] 'de D tanım kümesini ve c[x) fonksiyonunu seçerek 1 < p < 2 için LP(R2) uzayında sınırsız (4.1.1) şeklinde bir operatör inşa etmişlerdir. T kümesi R2 uzayının konik bir altkümesi olduğunda L'nin sınırlılığı Carleson-Hunt teoreminin bir sonucudur ([10]). Bazı ek koşullar altında w(x) = (wı(a;), W2(x)) 6 R2 ve r°° dt H(f)(x)=pvJ J(x + tw(x))j, olmak üzere L operatörünü Hf)(x) = ^H(f(x))+lm, şeklinde yazarak L operatörünün sınırsızlığım H operatörünün sınırsızlığını ispatlayarak göstermişlerdir. H(f) operatörü tam olarak Hilbert dönüşümü değildir ama Hilbert dönüşümünün bir genelleştirilmesi olarak düşünülebilir. Gerçekten w(x) G R1 ve w(x) = 1 alırsak H(f) Hilbert dönüşümü olur. Benzer sınıftan operatörler aynı zamanda [9] ve [8] 'de incelenmiştir. Bu makalelerde sözde diferansiyel ve Fourier integral operatörler sinifinda sınırsızlık kriterleri vermek için /oo k(z)f(P(x)z~a(x))dz, ¦00 operatörü kulanılmıştır. Bu benzerlik ise bizi genelleştirilmiş Hilbert dönüşümü olarak adlandırdığımız A(f)(x) = f k(z) /((/?(*) o z) + a{x)) dz Vİoperatörünü tanımlamaya yönlendirdi. Burada,(x)), z e R\ p(z) e R71 *M 0 ? _ I (jSl(^)zi,... A(x)Zn), *,/?(*) ? Rn şeklindedir. Tezde ele aldığımız esas soru Genelleştirilmiş Hilbert dönüşümlerinin hangi koşullar altında L^ uzayına sınırlı genişlemesinin bulunup bulunmaması ile ilgilidir. Öte yandan sözde diferansiyel operatörler ve Fourier integral operatörleri Fourier dönüşümlerinin doğal genişlemeleridir. Örneğin Fourier dönüşümü a(x,Ç) = 1 koşulunu sağlayan sözde diferansiyel operatör ve a(x,Ç) = 1, $(£,£) = ix.Ç koşullarını sağlayan Fourier integral operatörüdür. Bundan dolayı Tezin Giriş bölümünde Fourier dönüşümü incelenmiştir. 2. bölümde sözde diferansiyel operatörlerin temel özellikleri araştırılmış ve ele aldığımız problemlerle doğrudan bağlantılı olduğundan dolayı 3. bölümde Hilbert dönüşümlerine ve Cauchy integral operatörlerine ayrıca yer verilmiştir. Son olarak tezde bulduğumuz sonuçlar 4. bölümde verilmiştir. vıı
Özet (Çeviri)
GENERALIZED HILBERT TRANSFORMS SUMMARY Pseudo-differential operators and Fourier integral operators arise from the solutions of differential equations and also from generalizations and inverses of differential operators. Pseudo-differential operators and Fourier integral operators are generally defined as Au= f e**a{x,Ç)û{0 L^. this result, particularly for p = |, viiihas played an important role in linear partial differential equations, especially in the study of subelliptic operators. S%s Hörmander classes are subsets of C°°. But in application we see symbols a(x, £) which does not belong to C°° and are not continuous. In [10] J. Alvarez and R. Duran considered a class of pseudo-differential operators whose symbol is a characteristic function of a conic subset of R2 x R2. Namely, they studied operators in the form L(/)(x) = yc-**-«*r(»,0/(0de. where T = {(x, £) = (xi, x2, £1, ^2) | ^ e D, £2 > c(a;)Ç1} is a cone in R2 x R2 and c(x) is a real valued function defined on a domain D C R2. By choosing a domain D and a function c(x) in [10] it was constructed an unbounded operator of the form (4.1.1) in ^(R2), 1 < p < 2. Note that when T is a conic subset of R2 then the boundedness of L is a consequence of the Carleson-Hunt's theorem (see [10]). A representation of the operator L under some additional conditions in the form where LU){x) = ^KH{f{x)) + \f{x), P°° fit H(f)(x)=pvJ f{x + tw(x))2 and w(x) = (101(2), w2(x)) G R2 constitutes the main idea of the paper [10]. The operator H(f) is not exactly a Hubert transform, but it can be considered as a generalization of the Hubert transform. Indeed if w(x) ? R1 and w(x) = 1 then H{f) is the Hubert transform. A similar class of operators was considered in [9] and [8]. In these papers boundedness criterion for pseudodifferential and Fourier integral operators are investigated by using the operators /CO k(z)f(p(x)z-a(x))dz,.00 where k(z) e S, k(z) denotes the Fourier transform of fc(z), a(x) and (3(x) are real-valued functions. The similarities in the definitions of these operators, mentioned above motivated us to define the following operator A(f)(x) = f k(z) /((/?(*) o z) + a{x)) dz, JRn ixwhich we called generalized Hilbert transform where arrw-l (A (s)*i,..-,&(*)
Benzer Tezler
- Deterministic state transformations in the resource theory of superposition
Süperpozisyon kaynak teorisinde deterministik durum dönüşümleri
HÜSEYİN TALHA ŞENYAŞA
Yüksek Lisans
İngilizce
2021
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiFizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ALİ YILDIZ
- Düzgün Jordan operatörlerinin değişmez altuzaylarının hemen hemen-afin yörüngeleri
Quasiaffine orbits of invariant subspaces for uniform Jordan operators
AYŞE NUR ALTUNSOY
Yüksek Lisans
Türkçe
2015
Matematikİstanbul Kültür ÜniversitesiMatematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MERT ÇAĞLAR
- Kesirli integralleri içeren hardy tipli eşitsizlikler
On hardy type inequalities involving fractional integrals
CANDAN CAN BİLİŞİK
Yüksek Lisans
Türkçe
2018
MatematikDüzce ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET ZEKİ SARIKAYA
- İç çarpım quasilineer uzayları ve bazı genelleştirmeleri
Inner product quasilinear spaces and some generalizations
HACER BOZKURT
- Фредгольмдун интегро-дифференциалдык тендемеси менен мүнөздөлгөн термелүүчү процесстерди минималдык энергия сарптап башкаруу
Fredholm integral-diferansiyel denklemi ile tanımlanan salınımlı süreçlerin minimum enerji kontrolü
GULBARÇIN TAALAYBEK KIZI
Yüksek Lisans
Kırgızca
2021
MatematikKırgızistan-Türkiye Manas ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. ELMIRA ABDILDAEVA