On the role of diagonalization in Gödel's incompleteness and Tarski's theorems
Gödel ve Tarski teoremlerinde köşegenleştirmenin rolü üzerine
- Tez No: 255881
- Danışmanlar: DOÇ. DR. ALİ KARATAY, PROF. DR. ALP EDEN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2010
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Boğaziçi Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 84
Özet
1930'ların başında ispatlanan üç aritmetik teorem matematiği biçimselleştirme çabasının sınırlarını tayin eder: Gödel'in Birinci Eksiklik Teoremi, Köşegenleştirme Lemması ve Tarski'nin Teoremi. Tezi, bu teoremleri ifade ederek ve açımlayarak başlatıyoruz. Bunun ardından ispatlarını inceliyor ve şu yapısal katmanlaşmayı gözlem-liyoruz: Birinci katman, aritmetiğin araçlarını kullanarak kendine referans veren cümleler kurmakta kullanılan salt sentaktik bir mekanizmadan ibaret. Gödel'in Eksiklik Teoremi'ne getirdiği ispat, işbu mekanizmanın bir özel uygulamasına dayanıyor. Köşegenleş-tirme Lemması, aynı mekanizmasının bir genelleştirmesinden ve Tarski'nin teoremi de, Köşegenleştirme mekanizmasının dolaysız bir sonucundan, neredeyse bir korollerinden, ibaret.Teoremlerin gerçek kronolojisi de bu mantiki katmanlaşmaya çok yakın seyretmektedir: Gödel'in birinci teoremi 1931'de, Köşegenleştirme Lemması 1934'te ve Tarski'nin Teoremi 1933'te yayınlanmıştır.Anılan teoremlerin ve ispatlarının serimlenmesinden sonra dikkatimizi başlıca ilk katman üzerinde topluyoruz: Bu sırada, aritmetik cümlelerin kendilerine referans vermesini sağlayan mekanizmada köşegenleştirme diye anılan bir metodun iki kez kullanıldığını gözlemliyor; bu mekanizmayı daha genel dillerde de kullanılabilecek şekilde soyutluyor; formel aritmetikte ispatlanabilirlik özelliğinin salt-sentaktik metodlarla yakalanmasının (capturability) mümkün olmadığı türünden önemli birkaç teoremi de elde etmek üzere benzer bir metodu genelleştiriyor; Tarski'nin Teoremi ile Yalancı Paradoksu'nun içkin benzerliğini gösteriyor ve tezi konusu olan üç büyük teoremin matematiksel önemine dair kısa notlarla kapatıyoruz.
Özet (Çeviri)
Three major theorems of arithmetics from early 1930s delineate the enterprise of formalization in mathematics: G\“odel's First Incompleteness Theorem, Diagonalization Lemma and Tarski's Theorem. We begin the thesis with a statement and exposition of these theorems. Then we examine their proofs and observe the following structural stratification: The first layer consists in a certain purely syntactical mechanism which constructs self-referential sentences with arithmetical means. G\”odel's own proof of his First Completeness Theorem is based on a specific use of this mechanism. Diagonalization Lemma is a generalization of the same mechanism and Tarski's theorem is a direct consequence, almost a corollary, of the Diagonalization Lemma.\\The actual chronology approximates this logical stratification too: G\"odel's First is published in 1931, Diagonalization Lemma in 1934 and Tarski's Theorem in 1933.After completing the exposition of the theorems and their proofs we focus our attention mainly on the first layer. There we observe that the mentioned self-referential mechanism is achieved using twice a method called diagonalization; abstract this mechanism to general languages; try to generalize a similar method to obtain a couple of other famous theorems like the non-capturability of provability in formal arithmetics; show the intrinsic affinity of Tarski's Theorem with the Liar Paradox and close the thesis discussing the mathematical relevance of the three major theorems.
Benzer Tezler
- Molecular modelling of GABA-AT reactivity: From small representative models to the full protein, from molecular mechanics to quantum chemistry, from static to dynamics
GABA-AT reaktivitesinin moleküler modellemesi: Küçük temsili modellerden tüm proteine, moleküler mekanikten kuantum kimyasına, statikten dinamiğe
HATİCE GÖKCAN
Doktora
İngilizce
2016
Biyokimyaİstanbul Teknik ÜniversitesiHesaplamalı Bilimler ve Mühendislik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. FETHİYE AYLİN SUNGUR
PROF. DR. GERALD MONARD
- Application of matrix product states for few photon dynamics and quantum walks in reduced dimensions
Matris çarpım durumları formalizminin düşük boyutlarda az sayıdaki fotonların dinamiğine ve kuantum yürüyüşlerine uygulanması
BURÇİN DANACI
Doktora
İngilizce
2021
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiFizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. AHMET LEVENT SUBAŞI
- Sınıf içi ve sınıflar arası saçılmaya duyarlı ortak uzamsal örüntüler ile motor hareket hayalinin tanınması
Motor imagery recognition with within class and between class scatter sensitive common spatial patterns
MECİT EMRE DUMAN
Yüksek Lisans
Türkçe
2015
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. TAMER ÖLMEZ
- On the role of short films in enhancing reading comprehension skills: Critical discourse analysis of perceptions of EFL students
Kısa filmlerin okuduğunu anlama becerisini geliştirmedeki rolü üzerine: Yabancı dil olarak İngilizce öğrenen öğrencilerin algılarının eleştirel söylem analizi
NURAN LEKEALMAZ
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
Eğitim ve ÖğretimGaziantep ÜniversitesiYabancı Diller Eğitimi Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. FATMA FİLİZ TILFARLIOĞLU
- İlkokullarda matematik eğitiminde yardımcı araçların rolü
On the role of materials in the mathematics education in primary schools
YAVUZ DÜNDAR
Yüksek Lisans
Türkçe
1997
Eğitim ve ÖğretimHacettepe ÜniversitesiFen Bilimleri Eğitimi Ana Bilim Dalı
PROF. DR. DOĞAN ÇOKER