Application of matrix product states for few photon dynamics and quantum walks in reduced dimensions
Matris çarpım durumları formalizminin düşük boyutlarda az sayıdaki fotonların dinamiğine ve kuantum yürüyüşlerine uygulanması
- Tez No: 721516
- Danışmanlar: DOÇ. DR. AHMET LEVENT SUBAŞI
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Fizik ve Fizik Mühendisliği, Physics and Physics Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2021
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Fizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Fizik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 130
Özet
Düşük boyutlu, çok parçacıklı kuantum sistemlerinin hesaplamalı benzetimleri son yıllarda son derece aktif olarak çalışılan bir alan haline gelmiştir. Bunun nedeni geliştirilen yeni teknikler sayesinde bu sistemlerin deneysel olarak üretilmesi ile birlikte hem teorik alanda hem de kuantum teknolojilerinde yeni gelişmelere ışık tutmasıdır. Ancak bu sistemlerin Hilbert uzayının boyutu serbestlik derecesi sayısı ile üstel olarak büyümektedir. Bu durum da hesaplamalı benzetimlerinin yapılmasını zorlaştırmaktadır. Bu nedenle yaklaşık yöntemler geliştirilmiştir. Bu yöntemler arasında bir boyutlu çok parçacıklı kuantum sistemlerinin benzetiminde en çok kullanılanlardan biri Matris Çarpım Durumları (Matrix Product States, MPS) Formalizmidir. Bu tezde MPS Formalizmi kuantum optik sistemlerine ve kuantum yürüyüşlerine uygulanmıştır. Bu amaçla numerik bir kütüphane geliştirilerek bu kapsamda yazılan fonksiyonların farklı parametreler için doğruluğu ve verimliliği test edilmiştir. Bu fonksiyonlar kuantum dalga fonksiyonunun bilgisayardaki temsilinin ve zaman evriminin verimli bir şekilde benzetimini sağlamaktadır. Kuantum optik sistemi olarak iki seviyeli bir kuantum sistemi ile etkileşen bir boyutlu bağlı kovuk zinciri incelenmiştir. Çok parçacıklı bir kuantum sisteminin uzun süreli dinamiğinin benzetiminin yapılması için geliştirilmiş tekniklerden biri soğurucu sınır koşullarının kullanılmasıdır. Çalışmamızda bu sınır koşulları iki seviyeli sistemden uzaklaştıkça üstel olarak azalan, γe −n/l formunda imajiner bir potansiyel şeklinde uygulanmıştır. Burada γ soğurma kuvveti, l ise soğurma uzunluğudur. Bu parametrelerin farklı değerleri için soğurma bölgesinin dışındaki dalga fonksiyonundaki değişim incelenerek etkin bir benzetim için optimum değer aralıkları belirlenmiştir. Bu tezin bir diğer amacı da farklı kuvvetlerde etkileşimler için foton dinamiğinin ve iki seviyeli sistemin uyarılmış durumundan taban durumuna bozunmasının araştırılmasıdır. İki seviyeli sistemle kovuk arasındaki etkileşim kuvveti g'nin kovukların dışındaki modlarla etkileşimlerin ihmal edilebilmesini sağlayacak kadar büyük olduğu, ancak foton frekansı ω'ya göre yeterince küçük olduğu (g < 0.1ω) rejime güçlü etkileşim rejimi denmektedir. Güçlü etkileşim rejiminde dönen dalga yaklaşıklığını kullanarak Hamiltonyendeki uyarılma sayısını korumayan terimleri ihmal etmek ve problemi tam köşegenleştirme yöntemiyle çözmek mümkündür. Bu limitte tam köşegenleştirme yöntemi ile elde edilen sonuçlar MPS algoritması ile elde edilen sonuçlarla karşılaştırıldığında her ikisinin de tam olarak örtüştüğü gözlemlenmiştir. Daha yüksek etkileşim kuvvetleri söz konusu olduğunda dönen dalga yaklaşıklığı geçerliliğini yitirir. Ancak orta ölçekli etkileşimlerde polaron dönüşümü yaparak efektif ektileşim kuvvetini düşürmek ve dönüşümden sonra elde edilen bazda dönen dalga yaklaşıklığı kullanmak mümkündür. 0.1ω < g < 0.2ω aralığında yaptığımız benzetimler polaron dönüşümü kullanılarak elde edilen sonuçların MPS algoritması ile elde edilen sonuçlarla büyük ölçüde tutarlı olduğunu göstermektedir. Daha yüksek etkileşim kuvvetleri içinse sonuçlar arasındaki farklılıklar artmaktadır. Bu tezde araştırılan bir diğer kuantum sistemi kesikli zamanlı kuantum yürüyüşüdür. Bu model 1993 yılında klasik rastgele yürüyüşün kuantum karşılığı olarak önerilmiştir. Bir boyutlu klasik rastgele yürüyüşte yürüyüşçü her adımda p olasılığı ile bir yöne, 1 − p olasılığı ile diğer yöne hareket eder. Kuantum yürüyüşünde ise konum uzayına ek olarak yürüyüşçünün gideceği yönü belirleyen, para durumu olarak niteleyebileceğimiz, iki boyutlu bir serbestlik derecesi bulunmaktadır. Her adımda para atışına karşılık gelen bir operatör para uzayına etkiyerek para durumunu süperpozisyon haline getirir. Sonrasında uygulanan başka bir operatör paranın durumuna bağlı olarak yürüyüşçüyü sağa ya da sola kaydırır. Bu operatör koşullu bir operatör olduğu için para ve konum uzaylarını dolaşık hale getirir. Klasik rastgele yürüyüşün en temel özellikleri konum uzayındaki olasılıkların Poisson dağılımına sahip olması ve yayılma hızının difüzyon şeklinde olmasıdır. Difüzyon yayılmada varyans zamanla doğru orantılı olarak artmaktadır. Kuantum yürüyüşünde ise konum uzayındaki dağılım başlangıç noktası etrafında düz olup zamanla sıfıra yaklaşır, olasılığın en yüksek olduğu noktalar uçlara yakındır ve zamanla sabit hızla yayılırlar. Bu nedenle yayılma balistiktir ve varyans zamanın karesiyle orantılı olarak artar. Kuantum yürüyüşünün klasik rastgele yürüyüşe göre daha hızlı yayılması onu arama algoritmaları açısından daha cazip kılmaktadır. Ancak düzensizlik bu yayılma hızını düşürebilir. Dinamik düzensizlik kuantum girişimlerini ortadan kaldırarak klasik rastgele yürüyüş ile aynılaşmasına ve difüzyon şeklinde yayılmaya sebep olurken statik düzensizlik yayılmanın tamamen durmasına ve yerelleşmeye yol açabilmektedir. Bu tezin amaçlarından biri düzensizliğin etkisini farklı yürüyüş modelleri üzerinde incelemektir. Bu tez kapsamında iki farklı, kesikli zamanlı kuantum yürüyüşü incelenmiştir. İlki tek bir faz safsızlığı içeren kuantum yürüyüşüdür. Buna göre yürüyüşçü başlangıç noktasından her geçtiğinde φ kadar bir faz almaktadır. Bu yürüyüş için konum uzayındaki yerelleşme ile Markovyen olmama özelliği arasındaki ilişki araştırılmıştır. Markovyen sistemlerde incelenen sistemden çevreye tersinmez şekilde bilgi akışı bulunmaktadır. Markovyen olmayan sistemlerde ise bu bilginin bir kısmı sisteme geri akmaktadır. Kuantum yürüyüşünde para uzayı ilgilenilenilen sistem, konum uzayı ise çevre olarak düşünülmektedir. Bu özelliğin incelenmesi için BLP ve RHP ölçütleri kullanılmıştır. Fazın büyüklüğüne bağlı olarak kuazi-enerji spektrumundaki bağlı durumların sayısının ve yerelleşmesinin değiştiği ve bu niceliklerin dinamik yerelleşme üzerinde doğrudan etkisi olduğu gözlemlenmiştir. Bağlı durumların bu özelliklerinin ve simetrilerinin Markovyen olmama özelliği üzerinde de etkili olduğu BLP ve RHP ölçütleri aracılığıyla gösterilmiştir. Bu bulgular bu model için yerelleşme ve Markovyen olmama özelliği arasında güçlü bir ilişki olduğuna işaret etmektedir. İncelenen ikinci kuantum yürüyüşü faz safsızlığı yerine yürüyüşün her noktasında dinamik bir spin bulunan yürüyüş modelidir. Yürüyüşçü, bir noktadan geçtiğinde bu noktadaki spin döndürülür ve spinin açısı kadar bir faz alır. Düğüm noktalarında veya kenarlarında yerel spinler bulunan ağ yapılarındaki kuantum yürüyüşlerine benzer şekilde bu modelde de yerel spinler para uzayına etkimemektedir. Hamiltonyen ve seçtiğimiz başlangıç durumu öteleme açısından değişmezdir, ancak buna rağmen yürüyüşçü ile yerel spinler arasındaki faza bağlı etkileşimden dolayı yerelleşme meydana gelmektedir. Bu nedenden ötürü bu model literatürde daha önce çalışılmış,“düzensizlik bulunmayan”yerelleşme (disorder-free localization) modellerinin kesikli-zamanlı versiyonu olarak düşünülebilir. Bu modelin yaygın korunmuş niceliklere sahip olması evrim problemini statik düzensizlik yürüyüşüne indirgemektedir. Seçtiğimiz başlangıç durumu bütün olası spin düzensizliği konfigürasyonlarının süperpozisyonu olduğundan yürüyüşçünün konum uzayındaki olasık dağılımı bütün olası spin konfigürasyonları üzerinden ortalama alarak elde edilebilmektedir. İncelediğimiz ikinci kuantum yürüyüşü modelinde fazın büyüklüğüne bağlı olarak iki farklı yerelleşme rejimi gözlemlenmiştir. Faz yeterince küçük olduğunda zayıf etkileşim altındaki üç-boyutlu Anderson yerelleşmesi ve çok-parçacık yerelleşmesi modellerinde olduğu gibi, yerelleşmenin en fazla olduğu durumların spektrumun band kenarlarının yakınlarında yoğun olarak bulunduğu gözlemlenmiştir. Bunun sonucunda çalıştığımız orta-ölçekli zaman evrimi sonucunda yürüyüşçü başlangıç noktası etrafında kısmen yerelleşmektedir. Faz büyüdükçe band aralığı daralır ve faz yaklaşık olarak π/4 değerini aldığında band aralığı tamamen kapanır. Fazın daha büyük değerleri için yürüyüşçünün tamamen yerelleştiği ve yerelleşme uzunluğunun örgü aralığı ile aynı mertebede olduğu gözlemlenmiştir. Spin dinamiğinin ve spin zincirinin farklı bölmeleri arasındaki dolanık entropisinin hesaplanması için MPS algoritması kullanılmıştır. Elde edilen sonuçlar dolanıklık entropisindeki zamana bağlı artışın fazın büyüklüğü ile ilişkili olduğunu göstermektedir. Orta ölçekli zaman aralığında yapılan benzetimlerde küçük fazlar için yürüyüşçünün kısmi yerelleşmesinin sonucunda dolanıklığın yayılım davranışının kenarlara doğru lineer, başlangıç noktası etrafında ise lineerden daha yavaş olmak üzere iki fonksiyonun toplamı şeklinde olduğu görülmektedir. Faz açısı büyüdükçe lineer yayılım daha fazla baskılanır ve lineerden daha yavaş olan yayılım baskın hale gelir. Dolanıklık entropisinin yayılımının bu şekilde baskılanması daha önce çalışılmış bazı düzensizlik bulunmayan yerelleşme ve çok-parçacık yerelleşmesi modelleriyle benzerlik göstermektedir.
Özet (Çeviri)
Numerical simulations of low-dimensional quantum many-body systems have been a very active field in recent years. New techniques have enabled experimental realization of these systems and have shed light to both theoretical and technological developments. However, the numerical simulations of these systems have been challenging due to the exponential growth of the Hilbert space with the system size. In addition, quantum correlations such as entanglement play an important role in many-body systems. Therefore approximate methods have been developed. One of the methods to simulate such quantum systems in one-dimension is the Matrix Product States (MPS) Formalism. In this thesis, we concentrate on the application of MPS to quantum optical systems and quantum walks. For this purpose, we have developed a pedagogical numerical library which consists of functions responsible for efficient representation of the wave function and its time evolution. We have tested the efficiency of these functions for different parameters. The quantum optical system we consider is a one-dimensional coupled cavity array interacting with a two-level system. One of the techniques to simulate long time dynamics of a quantum many-body system in a computationally manageable grid is to impose absorbing boundary conditions. We have applied absorbing boundary conditions in the form of an imaginary potential and determined the optimum parameter intervals for efficient simulation. Another objective of this thesis is to examine the photon dynamics and the decay of the two-level system from its excited state for different interaction strengths. We have shown that in the strong interaction regime where rotating wave approximation (RWA) is applicable the results obtained from exact diagonalization and MPS simulations are in perfect agreement. For higher interaction strengths we have used polaron transformation to lower the effective interaction and applied RWA afterwards. We have discussed the differences between the results in terms of photon numbers and the excited-state population of the two-level system. As part of this thesis we have studied two types of discrete-time quantum walks. Firstly, we have considered a quantum walk with a single phase impurity and investigated the effects of the bound states on its spatial localization and non-Markovianity properties. In Markovian systems there is irreversible flow of information from the system under consideration to its environment, whereas in non-Markovian systems some of this information flows back to the system. Our findings show that there is a strong relation between the localization and non-Markovianity in this model. Secondly, we turned our attention to a quantum walk coupled to a spin chain environment where there is a dynamical spin attached to each site. Using our MPS algorithm, we have studied the relationship between the quasi-energy spectrum obtained from exact diagonalization of finite systems, dynamical localization, entanglement entropy and spin dynamics of this walk. We have observed that due to the extensive number of conserved quantities it possesses, this model is similar to the disorder-free localization models found in literature, where disorder is induced due to the interaction between the constituents of the system.
Benzer Tezler
- Yeni silisyum ftalosiyaninlerin sentezi ile fotokimyasal ve biyolojik özelliklerinin incelenmesi
Synthesis of new silicon phthalocyanines with the investigation of their photochemical and biological properties
CANAN USLAN
Yüksek Lisans
Türkçe
2012
Kimyaİstanbul Teknik ÜniversitesiKimya Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. B. ŞEBNEM SESALAN
- Uydu verileri ile İstanbul Boğazı ve Haliç'de su kirliliğinin makro düzeyde belirlenmesi
Intrepretation at macro level as pollution of water resources of remotely sensed data of Bosphorus and golden horn estuary by an unsupervised and supervised classification method
H.GONCA COŞKUN
- Synthesis and characterization of semiconductor colloidal quantum dots and quantum wells for optoelectronic devices
Optoelektronik aygıtlar için yarıiletken kolloidal kuantum noktaları ve kuantum kuyularının sentezi ve karakterizasyonu
YEMLİHA ALTINTAS
Doktora
İngilizce
2018
EnerjiAbdullah Gül ÜniversitesiMalzeme Bilimi ve Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. EVREN MUTLUGÜN
- Ağır metallere karşı seçici olan selüloz matris yapılı iyon değiştirici üretimi
The production of cellulose based ion exchanger selective to heavy metals
MÜMİN DİZMAN
Yüksek Lisans
Türkçe
1997
Kimya Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiKimya Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. TUNÇER ERCİYES
- Türk boksitlerinin kullanılması ile refrakter kalsiyum alüminatların üretimi
Production of refractory calcium aluminates by using Turkish bauxites
CENGİZ KAYA