Geri Dön

Petek fraktalının geometrisi

The geometry of honeycomb fractal

PDF İndir

  1. Tez No: 382326
  2. Yazar: MUAMMER TOPSAKAL
  3. Danışmanlar: DOÇ. DR. SIDDIKA ÖZKALDI KARAKUŞ, PROF. DR. HASAN HİLMİ HACISALİHOĞLU
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Geometry, Bee, Honeycomb, Honey, Fractal, Dimension, Hexagon, Angle, Motif, Iteration
  7. Yıl: 2014
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: Bilecik Şeyh Edebali Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.

Özet

Arıların ballarını depo ettikleri ve çoğalmaları için ördükleri yuvalara petek denir. Arılar birer matematikçi gibi, birer mühendis gibi ve birer mimar gibi dizayn ederek, çalışarak peteğin geometrisini kurarlar. Petek için esas olan geometrik biçim olarak düzgün altıgen seçilmiştir.“Herhangi bir düzlemi eşit alanlı bölgelere ayırdığımızda çevresi en küçük olan bölge düzgün altıgen olanıdır”gerçeği çok eskiden beri bilinen bir matematiksel özeliktir. Bu nedenle arılar da içgüdüsel olarak matematiksel kararı vermiş ve düzgün altıgeni seçmişlerdir. Bunun için en az malzeme ve en kısa boyutla minimum alan ve maksimum hacim esas alınmıştır. Böylece örülen petekler son derece intizamlı ve sağlam yapılardır. Arıların her biri farklı yerlerden ve farklı yönlerden başlamalarına rağmen, tümü birbirinin birer kopyası olan düzgün altıgenleri, kendi salgıları olan bal mumu ile hiç bir deneme ve yanılmaya uğramadan bir tek noktaya doğru örerek ilerlerler. Bu ilerleme esnasında altıgenlerini de örmeye devam ederler. Sonunda ortada birleşirler. Birleşme yerleri belli olmaz. Ayrıca altıgenlerin bir kopyası, ayrılmış olan yerine öyle bir oturur ki inanılması çok zor olur. Hem de bu iş için bir deneme-yanılma yapılmaz. Arıların petekleri birer fraktaldır. Bu fraktallarda her adım başlı başına benzer görünüm ve yapıdadır. Birinci adım olarak bir altıgen alırsak, ikinci adımda bu altıgenin her bir kenarı üzerine yine altıgenler koyarsak altıgen sayısı N=7 olur. Bu iterasyona devam edersek n. adımda altıgen sayısı N=1 + 3•n•(n+1) olur. Arıların petekleri fraktal olduğuna göre bu fraktalın bir boyutunun olması gerekir. Bu boyutu hesaplamak için KANTOR ÜÇLÜLERİ metodunu uygularsak, birinci adımdan n. adıma kadar işlemler şöyle olur: r1 = 1/6 ve N(r1) = 12 olur ve boyut d_1=(logN(r_1 ) )/(log(1/r_1 ))=log12/log6 =1,386 r2 = 1/18 ve N(r2) = 30 olur ve boyut d_2=(logN(r_2 ) )/(log(1/r_2 ))=log30/log18 =1,767 r3 = 1/30 ve N(r3) = 48 olur ve boyut d_3=(logN(r_3 ) )/(log(1/r_3 ))=log48/log30 =1,138 r4 = 1/42 ve N(r4) = 66 olur ve boyut d_4=(logN(r_4 ) )/(log(1/r_4 ))=log66/log42 =1,1209 . . . r_n=1/((2n-1)•6 ) ve N(r_n )=(3n-1)•6 olması halinde d_p=lim┬(n→∞)〖logN(r_n )/(log 1/r_n )〗=lim┬(n→∞)〖log((3n-1)•6)/(log((2n-1)•6) )〗=1 olarak bulunur. Anahtar Kelimeler Geometri; Arı; Petek; Bal; Fraktal; Boyut; Altıgen; Açı; Motif; İterasyon

Özet (Çeviri)

The nests that bees knit for reproduction and where they store their honey are called honeycomb. The bees produce the geometry of the honeycomb by designing and working as a mathematician, as an engineer or as an architect. The regular hexagon was selected for the honeycomb as a basic geometric shape. The following truth of a mathematical property“when any plane is divided into the parts with equal area, the part with the smallest perimeter is a regular hexagon”is known from long time ago. Therefore, the bees gave a mathematical decision instinctively and chose a regular hexagon. To do this, the least material, the minimum area with the minimum dimension and the maximum volume were taken as a basis. The honeycombs knitted in this way are extremely orderly and sturdy structures. Although every bee starts from different places and directions, they progress by knitting the regular hexagons, which are the copies of each one, with their wax secretions towards a single point without any trial or error. During this progress, they continue to knit the hexagons. At the end they join in the middle. The meeting points are not noticeable. Also a copy of the hexagons fits the place from where it was separated in such an incredible way which makes it hard to believe. Moreover, actions like trials or errors are not acceptable in this process. Each bee honeycomb is a fractal. Every step in these fractals has similar appearance and structure in itself. If we take a hexagon as a first step and put on every side of this hexagon other hexagons as a second step, then the number of hexagons becomes N=7. If we continue this iteration, the number of hexagons in the n step will be N=1 + 3•n•(n+1) Since the bee honeycombs are fractal then this fractal must have a dimension. If we calculate this dimension by using the Cantor's Triple Method, then the operations from first step to n step should be in the following way: If r1 = 1/6 then N(r1) = 12 and dimension d_1=(logN(r_1 ) )/(log(1/r_1 ))=log12/log6 =1,386 If r2 = 1/18 then N(r2) = 30 and dimension d_2=(logN(r_2 ) )/(log(1/r_2 ))=log30/log18 =1,767 If r3 = 1/30 then N(r3) = 48 and dimension d_3=(logN(r_3 ) )/(log(1/r_3 ))=log48/log30 =1,138 If r4 = 1/42 then N(r4) = 66 and dimension d_4=(logN(r_4 ) )/(log(1/r_4 ))=log66/log42 =1,1209 . . . If r_n=1/((2n-1)•6 ) then N(r_n )=(3n-1)•6 Thus the dimension d_p=lim┬(n→∞)〖logN(r_n )/(log 1/r_n )〗=lim┬(n→∞)〖log((3n-1)•6)/(log((2n-1)•6) )〗=1 .

Benzer Tezler

  1. Tez No

    177659

    Petek kirişlerin davranışları ve tasarım esasları

    Behaviours of castellated beams and desing factors

    MUSTAFA KALAYCIGİL

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2007

    İnşaat MühendisliğiErciyes Üniversitesi

    İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF.DR. CEMAL EYYUBOV

  2. Tez No

    256439

    Petek yapılı özgün bir kompozit panel üretimi ve bazı mekanik davranışlarının incelenmesi

    Manufacturing original composite panels with honeycombed structure and inspecting their mechanical attitudes

    REMZİ KAYA

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2009

    Makine MühendisliğiErciyes Üniversitesi

    Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. FEHMİ NAİR

  3. Tez No

    274667

    Petek yapılı sandviç yapıların dinamik özelliklerinin incelenmesi

    Investigation of dynamic properties of honeycomb sandwich structure

    ALPARSLAN YİĞİT

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2010

    Makine MühendisliğiAtatürk Üniversitesi

    Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. MUSTAFA YAMAN

  4. Tez No

    301866

    Petek dolgulu levhalar ve farklı yapım teknikleri ile üretilmiş ?L? tipi mobilya köşe birleştirmelerinin moment taşıma kapasiteleri

    Moment capacity of L-type furniture corner joints constructed with different joints techniques and honeycomb filled panels

    YAŞAR TÜFEKLİ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2010

    Ağaç İşleriGazi Üniversitesi

    Mobilya ve Dekorasyon Eğitimi Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. HASAN EFE

  5. Tez No

    938364

    Petek çerçeve sistemlerinin statik ve dinamik analizi

    Static and dynamic analysis of castellated frame systems

    AYAT ABBARA

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2024

    İnşaat Mühendisliğiİstanbul Gelişim Üniversitesi

    İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DR. ÖĞR. ÜYESİ AHMAD RESHAD NOORI

Geri Dön