Bazı lineer olmayan diferensiyel denklemlerin painlevé analizi, korunum kanunları ve tam çözümleri
Painlevé analysis, conservation laws and exact solutions of some nonlinear differential equations
- Tez No: 644562
- Danışmanlar: PROF. DR. MEHMET NACİ ÖZER
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Painlevé Metodu, Korunum Kanunları, Genelleştirilmiş Kudryashov Metodu, Jacobi Eliptik Fonksiyon Metodu, Tam Çözümler, Painlevé Method, Conservation Laws, Generalized Kudryashov Method, Jacobi Elliptic Function Method, Exact Solutions
- Yıl: 2020
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Eskişehir Osmangazi Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 79
Özet
Lineer olmayan diferensiyel denklemlerin matematiksel özellikleri uygulamalı matematik alanının önemli araştırma konularındandır. Bu tezde öncelikle, bazı kısmi diferensiyel denklemlerin (KDD) integrallenebilirlik özelliği Painlevé metodu (WTC algoritması) ile araştırılmıştır. Ele alınan denklemler; (2+1)-boyutlu Korteweg-de Vries tipi (KdV4) denklemi, (1+1)-boyutlu genelleştirilmiş Boussinesq denklem sistemi (GBQS) ve (2+1)-boyutlu Boiti-Leon-Manna-Pempinelli (BLMP) denklemidir. Denklemlerin Painlevé özelliğine sahip olup olmadığı araştırılırken cebirsel işlemler Maple programı kullanarak yapılmıştır ve sonuç olarak KdV4 denklemi ve BLMP denklemi Painlevé özelliğine sahip olduğundan integrallenebilirdir fakat GBQS nin bağdaşabilirlik şartını sağlamadığından Painlevé özelliğine sahip olmadığı gösterilmiştir. Ancak bu sonuç denklemin integrallenemez olduğunu garantilemez. İntegrallenebilirliği farklı yöntemler de kontrol edilmelidir. Kısmi diferensiyel denklemlerin karmaşık fiziksel yapısının anlaşılmasını kolaylaştırmak için tam çözümlerini bulmak gerekir. İncelenen KdV4 denklemi ve BLMP denkleminin genelleştirilmiş Kudryashov metodu ile tam çözümleri bulunmuştur. GBQS nin tam çözümlerinin elde edilmesi için de Jacobi eliptik fonksiyon metodu kullanılmıştır. Denklemlerin tam çözümleri bulunurken Maple programı yardımıyla denklemler çözülmüştür ve elde edilen çözümler hiperbolik (soliton) ve trigonometrik (periyodik) fonksiyon içermektedir. İntegrallenebilirlik ve soliton çözüm araştırmalarında korunum kanunları da önemli bir rol oynar. Son olarak bu tezde varyasyonel metot olarak da bilinen çarpan metodu ile denklemlerin korunum kanunları bulunmuştur ve bu çalışma yapılırken Maple paket programının alt programı olan Cheviakov' ın yazmış olduğu GeM paket programı kullanılmıştır. Bunun sonucunda KdV4 ve BLMP denklemlerinin keyfi fonksiyonların varlığı mevcut olduğundan sonsuz çoklukta korunum kanunları bulunabildiği sonucuna varılmıştır. GBQS aşikar korunum vektörüne sahiptir. Eğer bir KDD de çok sayıda korunum kanunu çıkıyor ise bu onun yüksek ihtimalle integrallenebilir ve çözülebilir olduğunu gösterir.
Özet (Çeviri)
Investigation of mathematical properties of nonlinear differential equations is one of the major research topics in applied mathematics. In this thesis, the integrability of some partial differential equations (PDEs) is primarily investigated through the use of Painlevé method (also known as the WTC algorithm). The following are the PDEs discussed; (2+1)-dimensional Korteweg-de Vries Type (KdV4) equation, (1+1)-dimensional generalized Boussinesq equation system (GBQS) and (2+1)-dimensional Boiti-Leon-Manna-Pempinelli (BLMP) equation. In order to determine whether or not the equations have Painlevé properties, Maple is employed for the algebraic operations pertaining to it. As a result, it is found that KdV4 and BLMP have the Painlevé properties and therefore they are integrable; however it is observed that GBQS does not have the Painlevé property since it could not satisfy the compatibility conditions. Nonetheless, this result does not guarantee that the equation is not integrable. Integrability should still be investigated by other methods. In order to facilitate the understanding of the complex physical structure of the PDEs, it is necessary to find their exact solutions. The exact solutions to the KdV4 and BLMP are obtained by generalized Kudryashov method. The Jacobi elliptic function method is used to obtain the exact solutions of the Boussinesq equation system. To find the exact solutions of the equations, the corresponding methods have been implemented on Maple and the equations are solved. The results subsequently obtained are solutions containing hyperbolic (soliton) and trigonometric (periodic) functions. Conservation laws also play a significant role in integrability and soliton solution research. Finally, in this thesis, an effort is made to determine the conservation laws of equations by the multiplier method, which is also originally known as the 'variational method' . For this purpose, GeM software package for Maple, written by Cheviakov, is used. As a result, owing to the existence of arbitrary functions of the KDV4 and BLMP equations, it is concluded that an infinite multitude of conservation laws are found. GBQS has an explicit conservation vector. If there are many conservation laws in a PDE, it indicates that it's most likely integrable and solvable.
Benzer Tezler
- Lineer olmayan denklemlerin painleve analizi, tam çözümleri ve simetrileri
Painleve analysis, exact solutions and symmetries of nonlinear equations
AHMET BEKİR
Doktora
Türkçe
2005
MatematikEskişehir Osmangazi ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MEHMET NACİ ÖZER
- Lineer olmayan diferensiyel denklemlerin Painleve analizi ve integre edilebilme yönleri
Painleve analysis and integrability aspects of nonlinear differential equations
SEFA YILDIZ
- Painlevé analizi ve Backlund dönüşümü yardımıyla lineer olmayan kısmi türevli denklemlerin incelenmesi
Analysis of nonlinear partial differential equations by Painlevé analysis and Bäcklund transformation
ARZU ÖĞÜN
- Painleve analizi ile bazı lineer olmayan kısmi türevli denklemlerin integrallenebilirliği ve soliton çözümleri üzerine
On the integrability of some nonlinear partial differential equations with Painleve analysis and soliton solutions
FİGEN KANGALGİL
- Painleve analysis and lie symetries of some nonlinear partial differential equations
Başlık çevirisi yok
ABULGASİM ALİ MOHAMMAD
