Vorticity dependent quantum kinetic equation in three dimensions
Üç boyutlu sistemlerde girdaplı kuantum kinetik denklem
- Tez No: 737687
- Danışmanlar: PROF. DR. ÖMER FARUK DAYI
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Fizik ve Fizik Mühendisliği, Physics and Physics Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2022
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Fizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Fizik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 87
Özet
Kuantum Alan Teorisi nükleer fizikten, parçacık fiziğine, kozmolojiden yoğun madde fiziğine kadar, çok geniş bir kullanım alanına sahiptir. Dengede olmayan çok parçacıklı sistemlerin kümülatif özelliklerini çalışmak için ise Taşınım Teorisi kullanılır. Dengede olmayan çok parçacıklı kuantum sistemlerindeki olayları anlamak için bu iki teorinin birleştirilmesiyle Kuantum Kinetik Denklem veya Kuantum Taşınım Teorisi oluşturulmuştur. Bu tezde, girdaplı sistemler için formüle edilmiş bir Kuantum Kinetik denklemi inceleyeceğiz. Tezin giriş bölümünde konunun genel hatlarını, tezin amacını, daha eskiden yapılmış olan çalışmaların detaylı bir özetini, son olarak da kullandığımız notasyon ve konvansiyonları sunduk. Girdaplı sistemlerin kuantum kinetik denklemini yazmak için hidrodinamiğin yöntemleri çok kullanışlıdır. Hidrodinamikte girdaplı sistemler girdaplık tensörü vasıtasıyla betimlenir. Teorimizde, göreli olmayan sistemleri temsil eden referans sistemini kullanacağız. Tezin ikinci bölümünde daha detaylı göstereceğimiz üzere, girdaplık tensörü, kinematik girdaplık tensörünü içerir. Formülasyon boyunca kinematik girdaplık tensörünün katsayısını genel bir κ seçeceğiz. Tezin son aşamasında, Coriolis kuvveti gibi belirli fiziksel koşulların sağlanması için gereken κ katsayısının değerini bulacağız. κ=1 seçimi, oluşturduğumuz teorinin hem kiral limitinde hem de ileriki bölümlerde detaylandırılacak belli bazı yaklaşımlar içeren kütleli durumların analizinde diğer çalışmalarla uyumlu sonuçlar verir. Kuantum Kinetik Denklem, klasik fizikte karşımıza çıkan dağılım fonksiyonuyla ilişkilendirilen ve sık sık onun kuantum versiyonu olarak anılan Wigner fonksiyonu ile formüle edilir. Wigner fonksiyonu spinör indisleri ile verilen dörde dört bir matristir. Dirac denkleminin çözümleriyle oluşturulmuş fermiyonik alan operatörleri ve ayar değişmezliğini sağlayan Wilson çizgileri kullanılarak oluşturulan Wigner operatörünün büyük kanonik topluluk ortalaması alınarak elde edilir ve Göreli Kinetik Denklemi sağlar. Üçüncü bölümde Wigner fonksiyonunun başta dağılım fonksiyonu özelliği olmak üzere, ayar dönüşümü altında değişmezliği, sağladığı genel denklem ve bu denklemin bazı yaklaşımlar altında aldığı hal gibi çeşitli özelliklerini ana hatlarıyla inceledik. Wigner fonksiyonu Clifford Cebri bazında skaler, sözde skaler, vektör, eksenel vektör ve antisimetrik tensör alanları cinsinden yazılabilir. Bu şekilde yazıldığında 16 kovaryant bileşeninin sağladığı denklemler bulunabilir. Gama matrislerinin özellikleri kullanılarak Wigner fonksiyonu ve alanlar arasındaki ilişki bulunabilir. Bu noktadan sonra iki çeşit ilerleme yöntemi vardır. Bunlardan ilki, yani kovaryant formülasyon, 4-boyutlu alanları kullanarak hesaba devam eder; ikincisi Wigner fonksiyonunun momentumun sıfırıncı bileşeni üzerinden integralini alarak 3-boyutlu bir Wigner fonksiyonu tanımlar. Biz bu tezde, eşit-zaman formülasyonu ismi verilen, ikinci yöntemi kullanarak girdaplı sistemlerde kütleli Dirac parçacıklarını inceleyeceğiz. Girdaplı sistemlerde, elektromanyetik sistemlerin aksine, manyetik alanla eşleşen terimde momentumun sıfırıncı bileşenine bağımlılık söz konusudur. Bu bağımlılık formülasyon sırasında göz önüne alınmalıdır. Wigner fonksiyonu Clifford Cebri bazında açıldığında bileşenlerinin sağladığı denklemler elde edilir. Bu denklemlerin sanal ve reel kısımlarına ayrılır. Eşit-zaman formülasyonuna geçiş yapmak için momentum integrali alınan 4-boyutlu Wigner fonksiyonunun ve 3-boyutlu Wigner fonksiyonunun katsayıları karşılaştırılarak dağılım fonksiyonları ve alanlar arasındaki ilişki kurulur. Eşit-zaman formülasyonu bize dağılım fonksiyonlarının sağladığı taşınım denklemlerinin yanı sıra kısıtlandırma denklemleri olarak adlandırılan zamandan bağımsız bazı eşitlikler verir. Bu tezde bütün Wigner fonksiyonu bileşenleri için hem taşınım denklemlerini hem de kısıtlandırma denklemlerini bulacağız. Bu noktada, ilerleyebilmek için yarı-klasik yaklaşım yapmak mümkündür. Yarı-klasik yaklaşım, fiziksel nicelikleri Planck sabitinin kuvvet serisine açmaktır. Yarı-klasik yaklaşım sayesinde klasik mertebeye gelen Planck sabitinin katlarıyla orantılı hiyerarşik katkılar elde edilir. Planck sabiti çok küçük bir değere sahip olduğu için genelde anlamlı katkılar ilk mertebeye kadardır. Klasik limit ise sıfırıncı mertebeye karşılık gelmektedir. İlk mertebe katkıları bulmak için ikinci mertebeden taşınım denklemlerini türeteceğiz. En genelde n'inci mertebeden katkıları bulmak için (n+1)'inci mertebeden taşınım denklemleri bulunmalıdır. Kovaryant formülasyonda Wigner fonksiyonunun sağladığı sıfırıncı mertebedeki denklem kuadratik kütle kabuğu denklemidir ve çözümleri negatif ve pozitif enerji kısımlarından oluşur. Sıfırıncı mertebede hesap yapmak için bunu göz önüne alarak, alanları kütle kabuğu koşulunu empoze eden delta fonksiyonunu ile yazacağız. Bu koşul, kısıtlandırma denklemlerine konulduğunda dağılım fonksiyonlarının klasik limitleri arasındaki ilişkileri verir. Negatif ve pozitif enerjili kütle kabuğu şartını zorlayan delta fonksiyonunu, kabuğu Planck sabiti mertebesinde öteledikten sonra, kütle kabuğu etrafında seriye açacağız. Bu yöntemin yararı, yarı-klasik yaklaşım yaparak bize birinci dereceden denklemleri oluşturma fırsatı sunmanın yanı sıra enerjiye gelen birinci mertebeden düzeltmeleri de içermesidir. Kabuğa gelen bu düzeltme terimlerinin bazılarını elde etmek için 3-boyutlu eşit-zaman ve 4-boyutlu kovaryant teori arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Enerjiye gelen düzeltmeler dağılım fonksiyonlarına gelen birinci dereceden katkıları belirler. Bu sonuçları kullanarak sıfırıncı mertebeden bağımsız kinetik denklemlerini ve birinci mertebeden iki dağılım fonksiyonunu birbirleriyle ilişkilendiren kinetik denklemleri bulacağız. Bu denklemlerden özellikle birinci mertebeden olanlarını elde etmek uzun hesaplar gerektirmektedir. Daha yüksek mertebeli katkıların elde edilmesi, istenilen mertebeden bir mertebe yüksek taşınım denklemleri göz önüne alınarak bulunur. Vektör ve eksenel vektörler alanlardan türetilen dağılım fonksiyonları kullanılarak sağ ve sol elli fermiyonların dağılım fonksiyonları oluşturulabilir. Bu dağılım fonksiyonlarının kinetik denklemlerini, daha önceden bulduğumuz kinetik denklemleri kullanarak elde edeceğiz. Spin akımı dağılım fonksiyonunun yönünü momentum değişkeninin yönüyle aynı seçerek yaklaşık bir çözüm yapacağız. Yaklaşık çözümde bir adet serbest parametre ortaya çıkmaktadır. Bu parametrenin belirlenmesi sağ ve sol elli kinetik denklemlerini birleştirmemize olanak verir. Birleşimi yaparak kiral dağılım fonksiyonlarının kinetik denklemleri bulunur. Söz konusu kinetik denkleminin terimleriyle tam zaman türevi alınmış kiral dağılım fonksiyonunun terimleri kıyaslanarak faz uzayı değişkenlerinin hızları yani zamana göre birinci mertebeden türevleri bulunur. Tutarlı bir teoriden bu dağılım fonksiyonlarının kiral limitte birbirinden ayrılan sağ ve sol elli fermiyonların özellikleriyle uyumlu olmaları beklenir. Fermi-Dirac dağılımını elde etmek için sağ ve sol elli fermiyonların enerjilerine gelen düzeltmeler gereklidir. Sağ ve sol elli parçacıkların enerjilerine gelen düzeltmeleri bulmak için, makul bir yaklaşım olarak, dağılım fonksiyonlarının sağladıkları eşitliklerden yola çıkıp benzer eşitlikler sağ ve sol elli parçacıkların enerji düzeltmeleri terimleri için de kurulabilir. Enerjiye gelen bu düzeltmeleri göz önüne alarak bulunan, parçacıkların toplam enerjileri vasıtasıyla denge durumundaki fermiyonların sağladığı Fermi-Dirac dağılım fonksiyonları yazılabilir. Seriye açılmış kabuk enerjisiyle yazılmış bu dağılım fonksiyonu her zaman yaptığımız gibi kabuk etrafında birinci Planck sabiti mertebesine kadar seriye açılarak, dağılım fonksiyonun birinci mertebeden katkıları hesaba katılır. Bu sonuçlar dağılım fonksiyonu ve konum değişkeninin zamana göre türevinin momentum üzerinden integrali olarak yazılan akım yoğunluğunu hesaplamak için kullanılır. Bu noktada birinci mertebeden Planck sabiti katkılı akım yoğunluğu elde edilmiş olur. Akım yoğunluğunun kiral limitine baktığımızda daha önceki çalışmalarla uyumlu bir şekilde olduğu görülür. Momentum integrali formunda olan bu akım yoğunluğu sıfır sıcaklıkta hesaplanabilir. Bu limitte negatif enerjili parçacıkların yani antiparçacıkların denge dağılım fonksiyonları sıfıra gider. Pozitif enerjili parçacıkların dağılım fonksiyonları ise parçacıkların enerjilerinin kimyasal potansiyelden büyük olduğu durumda sıfır, aksi durumda ise bir olma özelliğine sahip olan Heaviside adım fonksiyonuna dönüşür. Dağılım fonksiyonunu seriye açtığımızda karşımıza çıkan dağılım fonksiyonunun türevi ise adım fonksiyonunun türevine yani delta fonksiyonuna dönüşür. Bu iki özellik akım yoğunluğunun momentum integralini almamıza izin verir. Sağ ve sol elli parçacıkların kimyasal potansiyellerini eşit kabul edersek vektörel dağılım fonksiyonunun sıfıra eşit olduğu görülür. Nihayet, pozitif enerjili parçacıkların eksenel vektörel akım yoğunlukları kütleli parçacıklar için hesaplanabilir. Bu sonucun kütlesiz limitine baktığımızda diğer çalışmalarla uyumlu olduğu görülür.
Özet (Çeviri)
In this thesis, we formulate a 3-dimensional transport theory for massive Dirac particles in vortical systems by means of QKE that includes the vorticity tensor and the Wigner function. Furthermore, we investigate the results of such formalism. The Wigner function is the quantum mechanical analog of the classical distribution function that governs the collective behavior of non-equilibrium systems. 3-dimensional distribution functions and the equations that govern them can be extracted from the Wigner function after decomposing it in terms of the Clifford algebra basis elements. We employ a method called equal-time formalism which can be roughly summarized as the method that obtains the 3-dimensional Wigner function by integrating the 4-dimensional Wigner function over the zeroth component of the momentum variable. Another method called the covariant formalism prefers to stick with the 4-dimensional fields. Both of the formalism includes the semiclassical expansion which allows us to proceed order by order in terms of Planck constant as the zeroth order corresponding to the classical limit. The zeroth order kinetic equation for the Wigner function is the quadratic mass-shell equation. Thus, the solutions involves the delta function that enforces the mass-shell condition with negative- and positive-energy. The classical relations between the distribution functions follows directly from the zeroth order constraint equations that is obtained after performing the momentum's zeroth component integration. The first order equations can be found by expanding the on-shell delta function mentioned in the previous paragraph around the shell. It follows from this expansion that the energy shift terms needs to be determined in order to proceed. A natural and the way we will follow is to obtain this energy shifts from the connection between the covariant and equal-time formulations. In order to progress, we semiclassicaly expand our equations. After plugging the energy shift terms we are able to express the full set of the first order components of distribution functions in terms of the vector and axial vector distribution functions. Finally, we find the zeroth and first order kinetic equations for vector and axial vector distribution functions. By fixing the spatial component of the axial vector distribution function, we find the kinetic equation for the temporal component of this function. A special choice of the spatial axial vector distribution function allows us to establish kinetic equations for the left- and right-handed distribution functions. We can find the rate of changes of phase space variables. Hence insofar, we obtain the current density for the equilibrium chiral distribution function and therefore calculate it both in its zero temperature and massless limits. The results in these limits are compatible with the ones obtained in other studies.
Benzer Tezler
- Relativistic and non-relativistic kinetic theories of chiral fermions
Kiral fermiyonlarının rölativistik ve rölativistik olmayan kinetik kuramı
EDA KILINÇARSLAN
Doktora
İngilizce
2021
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiFizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ÖMER FARUK DAYI
- A Finite element solution of the navier-stokes equations for the incompressible flow through the bundles of cylinders
Başlık çevirisi yok
ARMAĞAN ALTINIŞIK
- Finite element solution of Navier-stokes equations in terms of velocity and vorticitiy
Narier-stokes denklemlerinin vortisite ve hız cinsinden sonlu eleman çözümü
ROZİTA SEYEDİ
Yüksek Lisans
İngilizce
1993
MatematikOrta Doğu Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MÜNEVVER TEZER