q-lineerlik ve q-lineer diferansiyel denklemler
q-linearty and q-linear differantial equations
- Tez No: 930253
- Danışmanlar: PROF. DR. ÖMER FARUK GÖZÜKIZIL
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Sakarya Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 71
Özet
Fen bilimleri ve mühendislikte, birçok olayın açıklanmasına yardımcı olmak üzere, matematiksel formüller veya matematiksel modeller geliştirilir. Bu modeller, bir bilinmeyen fonksiyon ve bu fonksiyonun bazı türevlerini içeren bir denklem olarak ortaya çıkar. Bu tür denklemlere diferansiyel denklemler denmektedir.Diferansiyel denklemler; matematik, doğal bilimler, tıp ve mühendislikte yaygın bir kullanıma sahip analizin temel bir dalıdır. Diferansiyel denklemler vasıtasıyla bu uygulamalar kolayca çözüme kavuşabilmektedir. Ayrıca günümüzde diferansiyel denklemler ve diferansiyel denklem sistemlerinin çözümleri, bilgisayar ortamında, değişik programlar yardımı ile bulunabilmektedir. Burada hedeflenen aslında analitik çözüm ile bilgisayar ortamındaki çözüm arasında karşılaştırma yapma imkanı sunulmaktadır.Diferansiyel denklemlerin en önemli alt kollarından biri olan lineer diferansiyel denklemler, diferansiyel denklemlerin uygulaması ve çözümünde çok önemli bir paya sahiptir. Ayrıca çözümlerin özellikleri, çözümlerin elde edilmesi için gerekli tanım ve teoremler önemli rol oynamaktadır.Lineer diferansiyel denklemlerin çözümlerinin bulunmasında öncelikle sistematik bir düzen şeklinde çözüm aranmalıdır. Verilen lineer diferansiyel denklemde ilk olarak homojen olup olmadığı gözlemlenir. Sonrasında eğer diferansiyel denklem homojen ise homojen kısım çözümü bulunur. Bu aşamada diferansiyel denklemin katsayıları bize yol göstermektedir. Burada diferansiyel denklemin sabit katsayılı ve değişken katsayılı olma durumu göz önüne alınmaktadır. Belirtilen denklemin birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem olması halinde çözüm metodları uygulanmaktadır. Değişkenlerine ayrılabilir denklemler,tam diferansiyel denklemler, integral çarpan metodu bu yöntemlerden bazılarıdır. İkinci mertebeden veya daha yüksek mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin çözümü ise katsayılar bazında incelendiğinde bize büyük bir kolaylık sağlamaktadır. Verilen denklem sabit katsayılı ve homojen olduğunda pratik çözüm yöntemi olan karakteristik forma dönüştürüp bulunabilmektedir. Fakat değişken katsayılı olduğunda bu durum bize aynı kolaylığı sağlamayabilir. Yani bu denklemler birkaç özel denklem sınıfı dışında, cebirsel yöntemlerle çözülemez ve çözümleri elementer fonksiyonlar cinsinden ifade edilemez. Bu denklemleri çözmek için genel bir yöntem olan kuvvet serileri yöntemi ile çözüm aranmaktadır. Bu yöntem ikinci mertebeden homojen lineer diferansiyel denklemler için verilmektedir. Bu çalışmada buraya kadar olan kısmın kuantum analize benzer notasyonu incelenecektir. Quantum calculus genellikle limit notasyonu olmaksızın türev olarak bilinmektedir. Quantum calculus'un geçmişi 1400 lü yıllara Leonhard Euler'e kadar uzanmaktadır. Quantum calculus q-benzeri ve h-benzeri olmak üzere iki ana kola sahiptir. Bu çalışma da q-benzer ifadesiyle ilgilenilecektir. Quantum calculus da elde edilen formüller 18.yy'da ortaya çıkmıştır. Modern anlamda q-analizinin başlangıcı ise 1910 yılında Jackson tarafından yayımlanmış olan q-Jackson integrali sayılabilir.Sonrasında ise Victor Kac ve Pokmen Cheung tarafından q-gama ve q-beta fonksiyonlarının integral temsilleri ele alınmıştır. Günümüzde uygulamalı matematiğin özel fonksiyonları q-calculus'un yeni bir uygulama alanıdır. Özellikle Sturm-Liouville problemleri bu alanda pek çok uygulaması olan bir konu olduğu görülmektedir.Analizdeki bazı temel ifadelerin diferansiyel, türev, integral gibi tanımların quantum calculus da q-diferansiyel,q-türev,q-integral olduğu ortaya konmuştur. Benzer şekilde klasik analizde türev tanımdan karşıt türev elde edildiği gibi quantum analizde de q-türevden q-antitürev,q-integralden q-belirli integral elde edilmiştir. Ayrıca bu çalışmada sıkca yer verilen exponansiyel fonksiyonun q-benzeri ifadesinin de quantum calculusda pratik çözümler ortaya koyduğu görülmüştür. Bu tezde klasik diferansiyel denklemlerin bir alt kolu olan lineer diferansiyel denklemlerin lineerlik şartı, yeni bir paradigma çerçevesinde q-Analiz bağlamında incelenmiştir. Öncelikle bu çalışmamız beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde bu tez için gerekli olan analiz, diferansiyel denklemler ve q-analizin tarihçesinden bahsedilmiş, geçmişten günümüze kadar nasıl ilerlediği ve birbirleri arasında nasıl köprüler kurulduğu ele alınmıştır. İkinci bölümde ise analiz ve q-analiz için gerekli tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Daha sonra üçüncü bölümde q-lineerlik şartları tespit edilmiş; q-lineer diferansiyel denklemlerin n. mertebeden en genel hali; a_0 (x) D_q^n y(x)+a_1 (x) D_q^(n-1) y(x)+a_n (x)y(x)=Q(x) şeklinde ifade edilmiştir. Burada a_0,a_1,a_2,…,a_n fonksiyonları denklemin katsayılarını ifade etmektedir. Yukarıda bahsedilen denklemin önce birinci mertebeden ve Q(x)=0 olması halinde, yani sabit katsayılı ve değişken katsayılı homojen q-lineer diferansiyel denkleminin genel ifadelerinden bahsedilmiştir. Ayrıca çözüm yöntemleri değerlendirilmiş, bu çerçevede hangi yöntemlerin işlevsel olup olmadığı incelenmiştir. Buna göre katsayılar bazında ele aldığımızda; değişken katsayılı homojen q-lineer diferansiyel denklemlerden bazı tiplerin q-tam diferansiyel denklem vasıtasıyla çözümü incelenmiştir. Benzer şekilde klasik lineer diferansiyel denklemin çözüm yöntemlerinden biri olan integral çarpanı yöntemi q-analizde q-integral çarpanı olarak kullanılırken; bu yöntemin q-lineer diferansiyel denklemin çözümünde karşılığının olup olmadığı araştırılmıştır. Üçüncü yöntem olarak diferansiyel denklemlerde kuvvet serileri ile çözüm yönteminin q-Analizde q-kuvvet serileri ile çözüm yöntemi tespit incelenmiştir. Sonrasında Q(x)≠0 olması durumunda yani homojen olmayan q-lineer diferansiyel denkleminin çözümü, klasik lineer diferansiyel denklemlerin çözüm yöntemlerinden biri olan parametrelerin değişimi metodu yani q-Analizde q-parametrelerin değişimi yöntemi ile incelenmiştir. Dördüncü bölümde yüksek mertebeden sabit katsayılı homojen q-lineer diferansiyel denklemlerin çözüm yöntemleri araştırılmıştır. Bu yöntemlerden biri ise klasik diferansiyel denklemlerden; yüksek mertebeden sabit katsaylı lineer diferansiyel denklemlerin homojen kısmının çözüm yöntemi olan karakteristik polinoma dönüştürme metodudur. Diğer yöntem ise yukarıda belirtilen en genel n. mertebeden q-lineer diferansiyel denklemin n=2 olması halinde, bir önceki bölümde incelenen q-kuvvet serileri ile çözüm aranmıştır. Son bölüm olan beşinci yani sonuç kısmında ise yapılan araştırmalar ve incelemeler sonucunda hangi yöntemin daha işlevsel olduğu tespit edilmiş ve öneriler sunulmuştur.
Özet (Çeviri)
In science and engineering, mathematical formulas or mathematical models are developed to help explain many events. These models emerge as an equation containing an unknown function and some derivatives of this function. Such equations are called differential equations. Differential equations are a basic branch of analysis that is widely used in mathematics, natural sciences, medicine and engineering. Differential equations are a basic branch of analysis that is widely used in mathematics, natural sciences, medicine and engineering. In addition today, solutions of differential equations and differential equation systems can be found in a computer environment with the help of different programs. The aim here is to make a comparison between the analytical solution and the solution in the computer environment. Linear differential equations, one of the most important sub-branches of differential equations, have a very important share in the application and solution of differential equations. In addition, the properties of the solutions, the definitions and theorems required to obtain the solutions play an important role. In finding the solutions of linear differential equations, a systematic order solution should be sought first. In the given linear differential equation, firstly it is observed whether it is homogeneous or not. Afterwards, if the differential equation is homogeneous, the homogeneous part solution is found. At this stage, the coefficients of the differential equation guide us. Here, the situation of the differential equation being constant coefficient and variable coefficient is taken into consideration. If the specified equation is a first order linear differential equation, solution methods are applied. Separable equations, complete differential equations, integral multiplier method are some of these methods. The solution of linear differential equations of second order or higher order provides us with great convenience when examined on the basis of coefficients. When the given equation is constant coefficient and homogeneous, it can be found by converting it to the characteristic form, which is a practical solution method. However, when there are variable coefficients, this situation may not provide us with the same convenience. That is, these equations cannot be solved by algebraic methods, except for a few special equation classes, and their solutions cannot be expressed in terms of elementary functions. A solution is sought with the power series method, which is a general method for solving these equations. This method is given for second order homogeneous linear differential equations. In this study, the notation similar to quantum analysis will be examined up to this point. Quantum calculus is generally known as derivative without limit notation. The history of quantum calculus dates back to the 1400s, when Leonhard Euler began his studies. Quantum calculus has two main branches: q-like and h-like. This study will also deal with the q-similar expression. The formulas obtained in quantum calculus emerged in the 18th century. The beginning of q-analysis in the modern sense can be considered as the q-Jackson integral published by Jackson in 1910. Afterwards, the integral representations of q-gamma and q-beta functions were discussed by Victor Kac and Pokmen Cheung. Nowadays, special functions of applied mathematics are a new application area of q-calculus. Especially Sturm-Liouville problems are seen to be a subject with many applications in this field. It has been shown that some basic expressions in analysis such as differential, derivative, integral are q-differential, q-derivative, q-integral in quantum calculus. Similarly, just as the antiderivative is obtained from the derivative definition in classical analysis, the q-antiderivative is obtained from the q-derivative and the q-definite integral is obtained from the q-integral in quantum analysis. In addition, it has been seen that the q-like expression of the exponential function, which is frequently used in this study, also provides practical solutions in quantum calculus. In this thesis, the linearity condition of linear differential equations, which is a sub-branch of classical differential equations, is examined within the context of a new paradigm, q-Analysis. First of all, this study consists of five sections. In the first section, the history of analysis, differential equations and q-analysis required for this thesis is mentioned, how it has progressed from the past to the present and how bridges have been established between them are discussed. In the second section, the necessary definitions and theorems for analysis and q-analysis are given. Then, in the third section, q-linearity conditions were determined; The most general equation of q-linear differential equations of nth order was expressed as; a_0 D_q^n y+a_1 D_q^(n-1) y+a_n y=Q Here, a_0,a_1,a_2,…,a_n functions represent the coefficients of the equation. The general expressions of the equation mentioned above, first of order and Q(x)=0, namely, the homogeneous q-linear differential equation with constant coefficients and variable coefficients, are mentioned. In addition, solution methods were evaluated, and within this framework, it was examined which methods were functional or not. Accordingly, when we consider it based on coefficients; The solution of some types of homogeneous q-linear differential equations with variable coefficients by means of q-exact differential equations has been investigated. Similarly, while the integral multiplier method, which is one of the solution methods of classical linear differential equations, is used as a q-integral multiplier in q-analysis; it has been investigated whether this method has an equivalent in the solution of q-linear differential equations. As the third method, the solution method with power series in differential equations and the solution method with q-power series in q-Analysis were determined. Afterwards, in the case of Q(x)=0, that is, the solution of the non-homogeneous q-linear differential equation was examined with the parameter change method, which is one of the solution methods of classical linear differential equations, namely the q-parameter change method in q-Analysis. In the fourth section, the solution methods of higher order constant coefficient homogeneous q-linear differential equations are investigated. One of these methods is the characteristic polynomial conversion method, which is the solution method of the homogeneous part of the linear differential equations with constant coefficients of higher order from classical differential equations. The other method is the most general nth order q-linear differential equation mentioned above, in case n=2, the solution is sought with the q-power series examined in the previous section. In the fifth section, which is the last section, the conclusion, it is determined which method is more functional as a result of the researches and examinations and suggestions are presented.
Benzer Tezler
- Ambroksol HCL'ün akış-enjeksiyon ve bazı polarografik tekniklerle miktar tayini
The Determination of ambroxol HCL by flow-injection and certain polarographic techniques
PINAR BENLİ
Doktora
Türkçe
1998
Eczacılık ve FarmakolojiAnadolu ÜniversitesiAnalitik Kimya Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MUZAFFER TUNÇEL
- Gemilerde bünyesel titreşimlerin incelenmesi
An investigation on the structural vibration behaviour of ships
REYHAN ÖZSOYSAL
Doktora
Türkçe
2004
Gemi Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiGemi İnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF.DR. ALİ İHSAN ALDOĞAN
- Amonyum bileşiklerinde ....-faz geçişi yakınında özgül ısı hesaplaması ve Pippard bağlantılarının uygulanması
Calculation of specific heat and application of Pippard relations to ammonium halides near the ...-phase transition
AŞKIN YANIK
Yüksek Lisans
Türkçe
2000
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiPROF.DR. HAMİT YURTSEVEN
- Güçlendirici liderlik ile yenilikçi iş davranışı arasındaki ı̇lişkide algılanan örgütsel destek ve bilgi paylaşımı davranışının aracı rolü: Bilişim sektöründe bir çalışma
Mediating role of perceived organizational support and knowledge sharing behavior on the relationship between empowering leadership and innovative work behavior: A study on it sector
ENDER BARIŞ İMAMOĞLU
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
İşletmeYıldız Teknik Üniversitesiİşletme Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ AYGÜL TURAN
